Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
предположим отсутствие внешних сил и покой на бесконечности, то ясно, что
эта симметрия вокруг Os будет бесконечно сохраняться.
Можно тогда рассматривать жидкость как составленную из вихревых трубок,
быть может окруженных безвихревой жидкостью. Эти трубки (торы)
перемещаются, оставаясь все время параллельными плоскости хОу, их сечение
может, менять форму - с соблюдением при этом общих теорем, касающихся
интенсивности.
Естественно применить здесь цилиндрические координаты, которые мы
обозначим через q, б, г.
Мы назовем через MlV полупрямую, перпендикулярную меридианальной
плоскости МОг, в направлении возрастающих 0. Скорость V частицы,
помещенной в М, лежит в меридианальной плоскости, и ее составляющие будут
s и и; и отсчитываются положительно в направлении возрастающих q или
Уравнения движения примут тогда вид, как мы это видели выше:
ds ~? + *' 9s dq -f- if ds IV =z~ 1 P by dq'
dw + s dw -f?e dw l dp
Tt dq 17 ^ " P IF'
d(gs) d{qw) dq ds
= 0;
(1)
(2)
последнее является уравнением неразрывности и легко может быть нолучено
прямым путем из рассмотрения элементарного параллелепипеда, построенного
на dq, qdd, ds в точке М
Обозначая через Q величину вихря на MN, имеем уравнение:
(8)
Ясно, что уравнение (2) позволяет написать
где ^ зависит от q, я, t и является функцией т о к а; это название
происходит от того, что в момент t линии тока в плоскости меридиана qOe
имеют, очевидно, уравнения:
т. е. = const.
Скорости (s, tv) выражаются, следовательно, в функции одной только ф,
которая удовлетворяет одному простому уравнению, которое мы встретим
далее и которое может быть получено исключением р из двух уравнений (1).
Общие теоремы главы И показывают, что эти скорости могут быть кроме того
выражены в функции вихрей, и здесь, следовательно, посредством величины
2. Мы увидим, как этот вопрос может быть связан с изучаемым нами, и дадим
естественный способ вычисления функции тока
Случай единственного бесконечно тонкого кольца. Рассмотрим сперва случай
единственного бесконечно-тонкого вихревого кольца, на высоте s', радиуса
q' и интенсивности I = 22' do', где do' - сечение трубки. Так как общая
конфигурация может всегда рассматриваться как образованная соединением
таких элементарных колец, то очевидно простое суммирование позволит
перейти к вычислению для общего случая.
Мы внаем, что скорости ("-, v, w) получаются по формулам:
а- ТЛ вихрь в точке ж', у', У кольца, d-' элемент объема кольца {dz' = q'
do' dV) и г расстояние между точками (ж, у; я) и (ж', у', У), т. е.
dq ds
X IV
где
,¦ = у {г - /)2 4- 5* -f q'i - 2qq' cos (В - 6') Ясно, что имеем:
$' = - Q' sin O', Y == 2' cos В', С = О,
и что достаточно вычислить ", г, w для 6 = 0, в каком случае эти три
числа сведутся к г>, 0, ик Имеем тогда:
/>"= L. ,/< к и f .............................= о
1 2-л ./ /{г - /)а+ча+9,а - 2gg'cos6'
о'
/ 2?^-Х"'в'Л'
/?, = 0.
Положим:
cos г ds
/(~-р)2+? -j- з'2 - 2 qc/ COS s
s, = -1 a'u'd/ f -^-stts -..........................................-,
(")
1 K 1 / ' ' ° 1 ------------------------------------------------------
и, следовательно,
_ ^'i
дг
(7)
Теперь, так как переход от точки (х, у, г) в точке (у, 0, г) совершается
простым поворотом на угол в, то ясно, что будем иметь для точки .г, у, г
Р, = - Si sin 0, Qj - .S', cos Q,
что, впрочем, можно проверить простым вычислением, и отсюда выводим:
ЭР, 8S1 . Л',
-з-*- = з-5- sm2 6-cos2 6,
Э?/ Эд q
дQ, dS, , 81 .
cos2 0 -4-- sm2 6, дх dq q
и, следовательно,
w=2(r)L-|-3l. (8)
Ч 1 ч
Общий случай. Если перейти теперь от бесконечно тонкого вихревого
кольца к общей конфигурации, образованной соединением таких
колец, мы получим, очевидно, что и выше (6, 7 и 8), но
заменяя
просто .S', через сумму аналогичных выражений, а именно:
coseds (0)
)а -J- д2 -1~ д'2 - 2дд' cos г
где двойной интеграл распространен на все элементы do' поперечного
сечения вихревого объема какой-нибудь меридианальной плоскостью.
Получаем:
8,s ая я * - ~JF' ( }
Сравнение формул (4) и (10) нам дает непосредственно:
ЭФ as эф ая , "
^==(1И> lfy=2^ + 'S;
ф определена лишь с точностью до постоянной, и, очевидно, мы можем
положить
ф = qS. (11)
Наконец, отметим, что величины скоростей (10), впесепные в соотношение
(Я), определяющее Q, дают для Я уравнение:
<РЯ , д%4 , <) ( К \ __
дг- п dq- 1 dq \ q которому соответствует для ф уравнение
9*ф , дЦ 1 Эф
0Й ^ dq2 q dq ~ "2"'
Теория бесконечно тонкого кольца В случае бесконечно тонкого кольца, 8
сводится к 8Р данному уравнением (6), и после введения интенсивности
трубки I = 2Q' do' функция тока, полученная посредством (11), примет вид:
2г.
Iqq' ["___________________cos
У (г - г')- -)- <ф -|~ q'2 - 2qq' cos с
о
после чего получим
q dz q dq
Эти уравнения дают для скоростей значения, всегда конечные вне кольца, но
так как сечение кольца бесконечно мало, интенсивность / при этом
предполагается конечной, то s и it делаются очень большими внутри самого
