Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Кирхгофф подучил используя свойства логарифмического потенциала и
преобразовывая известную формулу, даютцую потенциал эллипсоида (одну из
осей которого он устремляет к бесконечности). Мы получим результат
быстрее, оперируя переменными (5, т]), происходящими от конформного
отображения (1); известно, что в этом случае имеет место формула:
Все сводится, следовательно, к отысканию простых гармонических функций от
5, т|, удовлетворяющих высказанным условиям.
Положим:
где а потенциал, сопряженный с 4 в безвихревой части пространства.
Тогда имеем АА = 0, и
для - = ;п. Ото условие будет удовлетворено, если взять
Но полученное таким образом решение (6) не удовлетворяет всем условиям
нашей задачи, так как дает равную нулю циркуляцию вокруг эллипса. Имеем,
в самом деле, производя вычисление в плоскости хОу:
Эта формула дает 1 = 0, если ее применить к функции a-j- *'ф,
соответствующей уравнению (6), так как после одного полного обхода
эллипса $ возвращается к своему начальному значению, ц увеличи-
а-|-vb = Kir.~ = Kie 2Е (cos 2т,- i sin 2tj),
'Ь = Кё~~' cos 2т, (при а = Ке7"Л sin 2vj). С другой стороны,
х2 -f-1/2 = с2 (cosh2 ? cos2 т] -j- sinh2 S sin2 tj) = c2
= - (eosh 11 -{- cos 27]),
(6)
и условие на стенке S будет:
(DC^ (Й
cos 2т, Кг ' - -j-- е2 cosh 2S = const
4- 4
вается на 2~, <?, следовательно, возвращается к своему нервоначаль-вому
значению.
При этих условиях мы сейчас видоизменим нашу функцию <р4~"Ф прибавлением
к ней члена вида
Так как ми имеем тогда а' = - то этот дополнительный потенциал не будет
однозначным и даст циркуляцию, равную - И ¦ 2-. Выберем тогда Л из
условия
- Н 2k = 2 zahi, и примем за определение ф,; функцию:
обозначая через ф? функцию тока для внешнего пространства относительно
эллиптического вихря. Так как функция •'/ (= Hi) остается постоянной на
эллипсе i = i0, то условие (4) на стенке продолжает выполняться функцией
фе. Наконец, совершенно ясно, что Афе равно нулю, так как ф? образовано с
помощью двух аналитических функций от 5 -)- гт).
Если мы обозначим через а и Ъ полуоси нашего эллипса ;0, то имеем,
согласно уравнениям (2):
Пространство внутри цилиндра. Легко видеть, что можно удовлетворить
условиям, касающимся ф, (функции тока внутри), положив:
- Ь, = гААяР + .В1/*),
считая А и В постоянными.
Уравнение - Аф; = 2С будет удовлетворено, если положить
а' v'/ = гН(S -f- ri]) (// = веществ, ноет.)
cos 2-ц -у-abr,i.
(")
а - п cosli 5n, Ь = с sin ?<>,
(")
откуда
а 4-6
с
и, следовательно,
(10)
A f "= 1.
(П)
и условие на стенке
ф. = (ж2 -j- у2) -Ьconst'
примет вид:
(2 А' - ш) .г3 -f- (2 - и) //- == const на S,
Очевидно, отсюда следует:
(2 А- а>) аа == (27?; - ш) h*
или
т/"'2
(и)
Непрерывность скоростей. Теперь остается сообразовать наши результаты с
условием непрерывности скоростей при переходе через S. Так как скорости
(относительные в плоскости хОу) касательны к S, то достаточно
удовлетвориться, что составляющие скорости по касательной к S одинаковы с
двух сторон S. А это сводится, очевидно, к утверждению, что одна из
составляющих абсолютной скорости, напри-Эф
мер, , имеет одно значение с обеих сторон. Функция фе здесь дана (10), а
ф( равенством
- ф. = ;С2 (А cos2 г, cosh2Е -j- В sin2 т, si nh3 Е). Следовательно,
будем иметь при Е = Еп:
¦- 7Г ~Ь ^')2 г~ cos -h "Ь ~
, > / , 1 4- cos 2ь 1 - eos 2т, \
= 1W smh Е0 cosh Е0 ( Л - -------------- -j- В---------------- I.
Отсюда обязательно
_ (Я _[_ 1,у- с-"" = 'с2 (А - В) sinh Е0 cosh Еа, alf, - \с- sinh J,,
cosh Е0.
Второе из условий выполняется само по себе [см. (9)J, а первое сводится к
и, следовательно, можем написать:
fih?
- ^ = Iе""* cos 2 Ti + 2'1
Г (Я
- - ----- I h cosli2E cos2 r. -1- a sinh2 E sin2 ti! =
я -j- h 1
=' (a - Ъ) \h cosh2 E cos2 r, -)- a sinh2 E sin2 r,|
Относительные траектории частичек, находящихся в
Относительная скорость частицы, находящейся в эллипсе * проекции на Оху
ЭФ. , Эф.
-а?-*х>
то есть
(и-2Ж) у, - (ы - 2А:)х, или иначе, в силу написанных выше формул:
2я2; 2 ьк
- (а + Ь)*-'Л +(а+Ь)в *¦
Эта относительная скорость равна также
dx dy
ЧГ' It'
и, следовательно,
dx _ 2аК dy 2ЬК
ЧГ~ (a + by У ' (tf ~ (я + by Х '
или
d.r даау dy шЬ.г _
dl b ' dl а '
иначе говоря, если положить
\ - ± y-JL
л - , I - - ,
а Ь
то
Х' = - шУ У' = <иХ,
откуда непосредственно
X = a cos (orf -)- у),
У = х sin (ю< -|- у), (X и у параметры)
то есть
ж = лХ cos (<Щ -)- у), у = М. sin (сat -|- у).
(16)
вихре.
|, имеет
Относительными траекториями являются эллипсы, подобные S. Но формулам
х1 = х cos т/ - у sin т/,
7/, - x si n 4)1 -j- у cos 4)1
имеем:
2
- xx = a [cos ('24)1 f) -(- cos y] - b [cos у - cos (24>t -j- y)] =
- (a -|- b) cos (2m/ -)- y) (a - h) cos y,
2
- (/, = (a -f- b) sin (2mi-f- ?) - (a - b) sin у.
A
Абсолютными траекториями будут окружности, описываемые с угловой
скоростью 2<п вокруг их центров.
Вычисление давления. Непрерывность его. Необходимо вычислить давление,
потому что его непрерывность при переходе через 8 не обееиечепа а priori,
