Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
верхнюю з- нолуплоскость. При этих условиях наша функция совпадает с
функцией того же названия из (22).
(Ясно, что всегда можно видоизменить введением постоянного множителя, так
чтобы скорость фиктивного движения на бесконечности равнялась любому
выражению, но здесь совершенно бесполезно
выяснять это условие в общем случае; при этих условиях скорость
на бесконечности не будет входить в число данных величин в задаче, а
будет определена в конце подсчета a posteriori.)
Назовем через Тг2 скорость проекций (ма, г2) в фиктивном движении ; тогда
,г2 = "2-гг2 = -^=ж, (24)
и функция ф, определенная (12), будет иметь выражение, которое можно
написать в виде:
1 '* ^=_Llo- !¦>-'
Скорость вихря, по крайней мере часть скорости, происходящая от функции
ф], будет тогда
V' ________-
ЭУ ' ЭХ '
т. е.
Vr I ( н 9ig Vj \ у, I I );а | а lg У* \
'' 4ir \ ф2 ЭУ )' 4и \ ф2 "Г" ЭХ /'
откуда получаем:
Но, как хорошо известно:
lg w2 = lg V2 - Д2,
где <)а означает угол между направлением скорости Fa и осью ОХ; так что
d lg' д (lg V2) . дЬ2 дЬ2 . д%
dZ~ ~ ЭХ *ЭХ дУ~гЖ'
и (2С) запишется:
1 Г "1. ЯН. ЯН 1
(27)
W'=-j-
4п
Эту формулу можно выразить словами, сказав, что скорость (U', V')
является результирующей двух скоростей :
г г
(28)
4ictya 2' 4тсфа 2 ян
(29)
1 дЬ2 I 90а
4тс ЭХ ' 4т: ЭУ
Вычислим теперь составляющие обеих скоростей (28) и (29) ио двум
направлениям, касательному и нормальному к кривой фиктивного тока (^2 =
const), проведенной через данную точку. Вектор (28) имеет составляющими
^иО
4тсфа
Вектор (29) дает составляющие
/_ dOg I dbt
4ir d$2 ' 4- dns '
из которых последняя равна также
J_ dig Fa
4к dsa '
рели считать, что направление dn.2 получается из ds2 поворотом 1.% в
положительном направлении на прямой угол. Чтобы иметь полную скорость
вихревых центров, достаточно прибавить к двум написанным выше векторам
(происходящим, если вспомним, от функции тока скорость, полученную по
функции й.2; эта последняя и есть V2, направленная по касательной к
фиктивной траектории.
Б целом, мы найдем, следовательно, для истинной скорости вихря
Те положения, в которые необходимо поместить вихрь Z, чтобы он оставался
в равновесии относительно данного твердого тела, будут охарактеризованы
парой следующих уравнений:
Второе из этих соотношений определяет в плоскости линию iv, которая
является местом возможных положений, разумеется, i области Л. Первое
уравнение дает тогда значение I, которое надо взять в какой-нибудь точке
этой кривой. Если в соседстве с рассматриваемой точкой М,, на траектории
вихря, проходящего через М, скорость стремится вернуть вихрь в К, мы
скажем, что рассматриваемое положение устойчиво, в противном случае оно
будет неустойчивы!. Так как в рассматриваемой точке М траектория вихря
касательна к линии ')•> = const, там проходящей, то для устойчивости
необходимо, чтобы производная по s.2 от составляющей (30) по касательной
была отрицательна. Траекторией вихря будет линия
но касательной:
(30)
но нормали:
1 d lgFg
4тс ds2
(31)
ds<
'W -На = const; имеем на этой линии, согласно (25):
т. е.
(32)
где а определенное число.
Таким образом, составляющая (30) по касательной может быть написана Т** I
4т: d0"\ I
"е +~Т?*-Ж2)~Ж-
Если диференцировать по s2, то перемещение происходит по каеа-тельной к
линии = const, так что = 0; на основании (32) имеем
также =0 [это следует и из второго уравнения (31)], так что уело-2
вие устойчивости можно записать:
13>°- <з4>
Применим все это к круговому цилиндру. Тогда мы будем иметь:
и-*-Цг+±г),
(что сводится к допущепию, что скорость на бесконечности равна единице);
далее:
"о - ive = e lgFs"
lg Fa = lg-j-
положив Х= с> с,ш, легко находим:
9 lg F2 2 f/ cos Зш - 2 p cos a>
dX pe - 2 p4 cos 2 to -[- '
d lg F2 2 p3 sin 3a> - 2 p sin a)
dY p6-2 p4 cos 2 a) -j- p2
Кроме того, имеем:
9фа ____1 COS 2 а)
Щ~~ ~дТ~~ р2(tm)'
Эф" sin 2 а)
Можно вычислить s2 в направлении скорости V2, уравнение
1^ = 0
ds2
уквивалентЕО уравнению
I t. дЖ1±==0
2 эх i 2 dY '
или еще:
-- р2 cos 3 (в 4- 2 cos to г- cos to = 0.
' 1 П*
В силу формулы
COS 3 ш = 4 coss (О - 3 COS to, последнее запишется в виде:
- 4 р2 cos2 to -f- 3 р2 - j- 2-- = О,
или
.у., (Р2-Ь 1)(3 Ра-1)
Ра
Весьма легко проверить, что это именно та кривая, которая дается
уравнением (20).
Неравенство (34) указывает природу устойчивости.
О задаче Д. Рябушинского. С рассмотрением предыдущего параграфа можно
связать одну важную задачу, изученную Рябугаинским (These. Paris,
Gauthier-Vil-lars, 1922, p. 32) и в его заметке в Comptes rendus (t.
174,1922, p. 1226). Предполагаем поток жидкости параллельным ОХ и
встречающим два прямолинейных отрезка (сечения плоскостью XOY двух
одинаковых тонких пластинок); эти два отрезка расположены, как указывает
рисунок, один позади другого и ортогонально к потоку. Мы будем
предполагать, что в происходящем движении устанавливаются два вихревых
центра в I и Г, в точках, симметричных птносительно ОХ и расположенных на
