Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
так как наше синтетическое решение не дает никаких гарантий в этом
отношении. Самое простое здесь исходить из классических уравнений
относительного движения. Возьмем эти уравнения относительного движения,
но отношению к осям Оху, связанным с вихрями. Пусть (а', "/) означает
относительную скорость; имеем классические уравнения:
1 др . ( да' , да' , да/ \
7^==Л"("Г+'' ity )+•-*+2rt№,
1 др I dv' . , де' , dv' \ .
= 1 W+v Ту)^-ин •
Но (к, и) суть проекции абсолютной скорости на подвижные оси Оху, и мы
имеем:
и/ = и -j- 4>у
i/ = = V - ш.
и делая приведения, получаем:
да да да, ди
_____ П ~дх - v <*!) ¦"У-Ш
dv dv dv dv
- - ¦ а - d.r V ду ~~ °П~г-
1 др да- да да, ди , да. ,
v' -- А '-гг- М/ V , -- (02/ -т- -4- (зйХ . ¦ -4-
р дх д/ дх ду ' р* ' ду 1
1 др , dv dv ov dv . dv
- = ) -. ----------------------и v -----------------------------------
------------------------------<яу - - -4- 4)X mu,
p dy dl d.r i)y J dx dy
али иначе
. dll
Движение будет перманентным отшсительно осей Оху; величины -у
и lL не зависят от времени, и при отсутствии внешних сил фор-01
мулы могут быть записаны в виде:
olSLjf.}-. IV21 I р 1 2 ) ог , он он
•------------------- -f- Щ - ШС ;
' ОХ ()Ц
до:
¦ он: = О,
(Д+т""'
. I dv tic
f- -4- фх -i- -4- oil = 0.
1 1 дх dy 1
dy 1
Введем теперь функцию тока так, гтобы
00 О')
tiy ' ду
и образуем dy. имеем:
rf(?+irnTS}+
32Д ti-fy \ 7 ! ( iftty
д,Р
(18)
d.vchi ) 1 \11 tira-
dxdy
dy
¦¦0.
Будем различать два случая: когда мы находимся внутри или вне .84 Внешнее
пространство. Имеемг, = 0 и ДО = о, тогда квадратную скобку, коэфициент
при -ш, можнс записать:
02ф
f"W
~Г!)
то есть:
02О
д.гду
d
d.<
д%'< I ^ 1 .7,,
д.гду ду*} h
dy
Их
- d<b.
Тогда получим, обозначив черев Ct постоянную:
- 4- т ||Г,- =
(19)
Внутреннее пространство. Внутри 4^0 и -ЛД = 24; квадратная скобка
сделается равной величине--2г,(х4х -\-ydy), увеличенной на выражение,
найденное в предыдущем случае; имеем, следовательно:
-1 1Г 2 - (24 -1- ш) 0.- 4<ог2- со I х -j- //-- •
ь 1 2 v \1ч \ дг ' Оу
то есть:
"I. 1-И'м
(20)
Из сравнения (19) н (20) следует, что давления непрерывны при переходе
через S. В самом деле, скорости там непрерывны, а, следо-34 34
вательно, и и ~, а кроме того имеем на S'
(О
ф, - г2 const.
Следовательно, на S давления р, и р, по предшествующим формулам могут
отличаться самое большее на постоянную. Выбирая соответствующим образом
С, и С,, делаем давления равными с двух сторон на S.
Вычисление Се и С, в предположении р - 0 на бесконечности. Известно, что
при конформном отображении, таком, как (1). имеем (Е. Picard, Analyse, 1,
p. 431):
Но во внешнем пространстве, где имеется потенциал, это уравнение выражает
теорему о замене переменных в функциональном определителе; а именно, оно
совпадает с равенством
Др, Ф) _ Д(?" Ф) ДО, У)
Д О TJ ДО,//)' ДО •"]) '
Здесь
(Ях \S / Яг \2
97) ~°2 'cosa 71 cos^a ^s(tm)2 т'^ ~
с2
= ~7Г (cosl12^ - cos 270
и (см. ур. 16)
ч - 1)а Н-е-46 "in" 2тп] =
= а?ЪК* [е~^ - 2е~'* cos2 т, -f 11.
Элементарное вычисление дает:
_ / ;Г Ж j_ "17. \ == sinh 2" ((7__________sin 2yj Эф, _
\ дх ' ' ду / cosh 2$ - cos 2у 3? cosh 2$ - cos 2т( 9rj
abt.
cosh 25 - cos 2т| Следовательно, имеем:
-Р,
[sinh 25(1-е ' cos 2т|) е sina2irj'|.
= _ ащп [ ^-2e-^Cos2rl + ll L с" (cosh 25 - cos 2vj) J 1
+ 'coihsij--cos 2t) [sinh 25 cos + e"*sin2 + C'- (21)
На бесконечности ? равно положительной бесконечности; предположим, что
)>, там нуль, следовательно, надо положить
то есть, в силу (15)
О = aVjsi Се; 2abr,
2 а*ЪКг
(а + Ь)*' Ь
(22)
и на эллипсе Л
(cosh ?0 = -, sinli S0 = .
\ С с
будем иметь, после некоторых упрощений:
2 aW
a-f-b1
(Н=-
¦х
X
[=
s (я + Ъ)3 [й2 + Ьа - (я2 - Ьа)ооя2т)]
(a -f- b) (я2 -1- б2) -}- 2 (я - б) (я2 -f- б2 -)- аЪ) cos 2т] ¦ (а - 6)
(я2 - б2) cos2 2т).
(23)
Перейдем теперь к внутреннему пространству, чтобы согласовать давления.
Образуем (20). Мы знаем, что все члены будут
иметь те же значения, что и в , но вместо С, будет фигурировать
комбинация:
Следовательно, будем иметь:
Cri = °'c + --(24i + "r2)s,
то есть, в силу (16):
Gi - Ce - 2С2 (а - 6) (6 cosh2 ;0 cos2 tj -)- a sinh2 Е0 sin2 к]) -{-,
2аМ*
= 0,
+ 42
(а + 6)2
аЪ
с2 (cosh2 S0 cos2 т] -ф- sinh2 ?0 sin2 tj) .
[a (1 -j- Cos 2t,) + 6(1 - cos 270] +
ab
[я2 (1 -j- cos 2t0 4- 62 (1 - cos 2t))].
(я + 6)2
Очевидно, cos2t) исчезнет и мы получим:
2 а?ЪК2 4а262С2
-С.
(а+Ь)*
(а + б)2 '
Сферический вихрь. В этом параграфе мы будем рассматривать конфигурацию,
изученную I. М. НШ'ом (Phil, transact. Roy. Soc. of London, 1894):
жидкость предполагается неограниченной, и вихри расположены внутри сферы
определенного радиуса, движущейся равномерно. Остальное пространство
свободно от вихрей. Вихри внутри сферы имеют неравномерно распределенную
интенсивность. Хотя можно сократить многие вычисления, прибегая к иным
соображениям, но мы рассмотрим задачу, опираясь на общие теоремы.
Напишем сначала уравнения гидродинамики для случая, когда явление можно
