Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
0Y, так что линии тока в этом движении дадут конфигурацию, указанную на
чертеже пунктиром; кривые симметричны относительно 0Y; но только скорости
в соответствующих точках отложены по симметричным прямым, но в
противоположных направлениях.
Ясно, что достаточно заняться верхней частью плоскости XOY, и очевидно
можно искать решение задачи по методам, изложенным памп ранее. Можно, в
самом деле, совершить конформное преобразование полуплоскости,
ограниченной линией GFEDOCBAH, на полуплоскость а, ограниченную Ох, и мы
придем к известной задаче. Но
мы в яееколышх словах покажем, что такой путь требует применения редко
встречающихся формул теории аллиптических функций и затем дает уравнения,
с которыми трудно обращаться, так что мы придем к необходимости иначе
подойти к вопросу. Заметим, что Рябушинский решил задачу методом, весьма
отличным от проводимого здесь. По формуле Шварца (см. например наши
LeQons sur 1'IIydro-
О
Рио. 42.
с Ъ
"TvJTcJy
Ф
dynamique, р. 42) связь между полуплоскостями Z и а осуществляется
соотношением вида
а2
dZ - L-...- .. - - da (L - вещ. пост.). (1)
1/(1-*2) (]- кЧ2)
Замечая прежде всего, что точки (а, Ь, с) и (f, е, d) могут быть взяты на
Ох попарно симметричными относительно О, и затем, что можно для абсциссы
с взять значение 1: значение а тогда обозначим
' 1
К- iK il(' Ю iK'
Ihi /А]
Плоскость г IB) -
через
7с
, считая 7с > 1, и тогда
Рис. 43.
будем иметь:
1<а<-^-. СО
Если мы положим тогда
a - sh X, (3)
где sn функция Якоби, соответствующая модулю к, то уравнение (1)
запишется:
dZ = L (sn2 X - a2) d\.
Принимая обозначения по Traite des fonctions elliptiques Tannery и
Molk'a, мы далее получим (формула CXV, 4):
Z=L
А.#,0) -±Ш
к* ( ' 7с2 0 (X)
¦ L уЯ.
(4)
0' (X)
Постоянная интегрирования равна нулю, так как Z(X) = обра-
щается в нуль при X = 0 (формула LXXIX), и наша полуплоскость г-
отображена в плоскости переменной X па прямоугольник со сторонами 2К и К\
как указывает рис. 43.
Для дальнейшего будет более удобным перейти к обозначениям Вейерттраеса,
что легко сделать при помощи соотношении (LXXVII1, 4)
С,
J-r^)^p-V7^r^=^+V^=i-,y. М.
\Vei - Ч / Л 0(/.) К
Диференцируя по X, полагая X = О и замечая, что обращается в нуль вместе
со своим аргументом, находим:
V вГ~~(r)8 (0) ~ :
имеем также (LX)
0____ о .
&" =
е, - ея
следовательно, (4) можно написать в виде:
Уе1-е"
2=-?^^13(у==)-гЖ. (б)
Ч- Ч ' 1- 8
Теперь постоянная а, соответствующая точке В, должна быть выбрана гак,
чтобы формула (5) обеспечивала совпадение точек А и С в плоскости Z, то
есть нужно, чтобы ^принимала одинаковые значения для X = К и для X = К -
j- ih, или, иначе (согласно формулам LXX1, 1, 2), для
X X
------- 03, И --у -= = CD, -f- <D3 = - (Bg.
V "1 - "8 Vе! -
Это дает условие:
*2(r)з:
-Ц
< Я-----------------------------------------во--------------------------
-------------в"
откуда
*Пз
*8 (е2 ез)
z=
во 0ц
%
(П)
Совокупность уравнений (3) и (6) определяет искомое соотношение между s и
Z. После всего этого остается рассмотреть в плоскости ,е уже известное
движение, определяемое через
и отыскать в плоскости Z скорость перемещения вихря Zx, соответствующего
рассматривая его как результирующую двух векторов, выведенных
соответственно из функции тока
lg
ds
12
и функции тока ф2 = жу. Следует кроме того написать, что скорость
остается конечной в В, т. е., что обращается в нуль при z = а.,,
ds
как легко убедиться. Но совершенно ясно, что вычисления будут
очень трудными и что не так просто написать условие (необходимое и
достаточное для существования самой рассматриваемой конфигурации), чтобы
скорость перемещения вихря равнялась нулю. Однако, такой путь имеет то
преимущество, что он останется в силе, если даже поместить вихри I и I'
не на оси Оу.
Мы приступим к этому вопросу несколько иным способом, что позволит
сделать наши рассуждения более простыми.1 Мы не будем рассматривать всю
область жидкости, движущейся выше ОХ, а остановимся только на ее
половине, беря во внимание лишь то, что происходит в квадранте X'OY
(откуда все остальное выведется по симметрии).
Назовем f - 9 -j- *<|" комплексный потенциал в изучаемом движении; мы
можем предположить = 0 вдоль линии тока GFEMBAH и у = О в точке М, f
существует во всей рассматриваемой области, кроме точки I, вихревого
центра. Скорость частицы будет, как и всегда
INI f
IQ) IF) (Ei (M)
(0) ID) 0 f
- ~~~fo
(J) (J)
Рис. 44.
df .
dfZ
iQ - iH +1
- 6 ,
(?)
положив 2 = 6-)- it, так что 0 есть угол между скоростью и осью ОХ.
Жидкой области GFEDOIMN, расположенной в квадранте X'OY, (рис. 41), будет
соответствовать в плоскости f область, представленная на рис. 44, где в
скобках указаны точки, соответствующие отмеченным точкам плоскости Z:
выше точки I, полупрямая IY нере-
1 См. Henri Vi 11 at, Comptesrendua de l'Aeademie des Sciences, 188,1929,
p. 597.
еекает ортогонально (в силу симметрии) все встречаемые ею линии тока, так
