Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
что имеем <р = 0 вдоль всей этой линии; ниже J, так как мы сделали
полуоборот в направлении, противоположном току вокруг вихревого центра,
значение <а будет постоянным и равным - т. е. ноловине 1 - интенсивности
вихря. Образованная таким образом полигональная область отображается
конформно при помощи формулы Шварца на полуплоскость / (рис. 45), и мы
получаем:
t-4-а2
df =iL- dt, (8)
Vt (1-ю
где L вещественная и положительная постоянная и где -а8 и 9г представляют
абсциссы точек, соответствующих Е и I.
(Q) (F) (Е) (D)
Плоскость t
(31_________(м)__________________М.
/\ -Я- 7\0 т
V. / 1 ^ ¦-
о TL" ТТ О
'2
Рис. 45.
Полагая получаем отсюда:
f = -и и. 4- ^ ("в + pa) lg- _ 2,- L V т -
Р Уи0+?
постоянная интегрирования вычислена так, чтобы точка /'=0 соответствовала
точке М плоскости /?, т. е. точке, где Х = У^г.
(Значение логарифма выбирается вещественное для X вещественного и
большего р.) Из формулы (9) заключаем сейчас же, что
между
I и О вещественная часть / равна
-*--*?8*1*!, (">
Г
и так как / - 2(c)0, то получаем условие:
2тгН (ot* -f Ю + (р = 0, (10)
к которому мы вернемся несколько дальше.
Теперь надо связать переменную f и, далее, 1 с Z. Этот результат можно
получить новым применением формулы Шварца, но мы к нему придем несколько
иначе, воспользовавшись промежуточной переменной
й = 8-]-ат, введенной выше. Замечаем непосредственно, что усол Ь между
споростью и ОХ оказывается равным на различных участках
границы (il'EDOI К нулю, или г. \mFED, - на OO/ j. Функ-
ция Q, которая через посредство f является аналитической функцией I,
имеет, следовательно, вещественную часть, известную на вещественной оси
плоскости /. Допустим (что всегда можно сделать, меняя единицу времени),
что скорость потока на бесконечности равна единице, тогда - будет нуль,
равно как и в, а 2 будет дано хорошо невест ной формулой:
а-й-[Я^+/^ь
Г л
i , d - t 82 - /
и, следовательно, согласно (7), имеем:
• СП)
At У (d - t) (/'-О
выбирая для радикала тот знак, при котором он положителен при
/ = - оо.
Уравнения (8) и (11) позволят тогда выразить Z в функции I. Таиим
образом, имеем:
dZ = -'HL ¦ - г т ^ di. (12)
У U(d-t)(f-t)
Мы пришли к эллиптическому интегралу, которым и займемся. Положим:
/ = <Х -\-Ъ, (13)
где ;а новая неременная и k постоянная, выбранная так, чтобы трем корням
< = 0, a, f соответствовали три значения ;х:
Cj = - h, i'^ - d - h, fa = f-К (1^0
расположенные в порядке убывающих значений и сумма которых равна нулю.
Это требует, чтобы
= (н)
вследствие чего, положив р = j?s, имеем:
dZ= - 2iL (fs -(- h -[- a2) dii
и
Z=--ii f/"s - '2il (h + a2) s Д.../" (1.5)
Постоянная Р определяется, если записать, что Z = 0 для 1 = О, т. е.
ДЛЯ р. :
= Тогда
/'==¦2
Я2)с
-¦nil
(16)
Намечая ото, видим, какие условия надо наложить на произвольные
постоянные L, % ft, d, /', которые фигурируют в наших результатах.
1°. Прежде всего нужно, чтобы при построении плоскости Я по формуле (15)
две точки D и F совпали бы. Но эти точки соответствуют 1 - d или f, т.
е., \i = г., или с,'и, следовательно, s =- u>2 или <вя. Это дает условие:
- (h -ф- ш3 = С ( - <в,2) -j- (/<• -f- а2) <о2.
т. е., упрощая (так как тг)а -|- -г)8 = О,
Wj -|- -j- <Qg = 0):
¦шг
(/i-f а2)ш,- Т]1 = (1.
(17)
ш,
Рис. 46. должна быть нулем.
В силу (16) это нам дает, что постоянная Р В силу известной формулы
(Tannery и Molk, XXX, 1) можем записать (17) в виде:
2COJ
.1
I V_
Т ^(1 + 7"")2
(18)
последнее выражение является существенно положительным.
2°. Нужно, чтобы скорость в точке Е была конечной. Это следует из (7) и
(11): скорость остается везде конечной (кроме самой вихревой точки /) и
обращается в нуль в /1 и F.
Наконец, и это весьма существенный пункт, следует вычислить скорость
перемещения вихря / и выразить, что эта скорость равна нулю, условие,
необходимое для самого существования рассматриваемого нами перманентного
движения.
Эта же скорость (".,, г,) задана, как мы знаем, формулой
z=y{dZ 2iicZ-z)'
(19)
где Zy есть аффикс вихря, соответствующего, по (12) или (15), / = (З2.
в окрестности этого значения, положив
/ - (20)
л,г dt 1
Мы разложим и 75-
(1Л
Мы будем иметь, в силу (12): dZ =
/т (а2 -)- ft2т) dm
d)'(m -fl2 -7)'
или:
dZ= - iL
(a2 -j- p2) dm
X jl + rn
и, следовательно,
*+ p(r)
Lll.
2 \p
¦f)
x
z-z,
v-d
iL
+
X
x |o2+P)m+
p/(p2-d)(p2_/)
"2 + ?2/ 1 I 1__, 1 \
2 VP2"1" p2-d"1- p2-fj
:+
l
гр/(р2-й) (p2-/)
1
v Ч-+
2 lp2^
Jy
1
X
("2+p2)
2 V P2 1 P2 - d Рассмотрим теперь уравнение (11), из которого получаем:
df = V(d-t)(f-t) = y^-d'rm)Cf-
dZ р2 - 1 - да,
У (ра-Д)(Р"-7)
да ( 1
т1р^=
1 +
Следовательно, в выражении 44--4- 1 ¦
a/J 2f.it Z-
дет, если будет иметься соотношение
р/-j- 2it L (o2-f-p2) = 0,
- f -\- да)
-j- О (да2)
¦f
1
член е - пропа-
т
(21)
а это и есть уже написанное выше соотношение (10), которое определяет
интенсивность вихря. (Последняя будет иметь отрицательный знак при
сделанных предположениях, когда поток в плоскости Z идет слева.)
