Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 44

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 66 >> Следующая

рассматривать как полученное вращением около оси Os. Назовем через q и 0
полярные координаты в плоскости хОу; обозначим через к и w составляющие
скорости по радиусу-вектору ОМ' и по Os; непосредственно находим
следующие уравнения:
дл-
dt
дл . дн 1 Ьр
dq ds р dq '
dw , dw , dw
4- -5-f- iv - = • 1 dq ds
dt
1 dp p ds
d (qs) , d(qw) dq^ ' ds
= U,
(1)
допуская при этом отсутствие внешних сил. Можно, следовательно, положить:
ЭФ ЭФ
аР qw=H-
qs = -
(2)
Исключая давление р в двух первых уравнениях (1), получаем для функции
тока Ф уравнение
(-

= 0. (3)
1 <Ц__д_______9_\ Г-/-^-4-92i-_______________
q ?т dq q dq ds ) ф \ ds2 d(f q dq} _
Это же уравнение допускает очевидные частные решения, а именно, те,
которые удовлетворяют соотношению
ЭгФ
где а, b и Ъ постоянные. (Далее мы увидим те удобства, которые заставили
нас ввести постоянную в правой части в таком виде.) Это последнее
уравнение удовлетворяется функцией
* = - а2 {-Jr Oi2 - "а) + Jr [* ~ z WJ2+/' (О 1 • W
J_ Эф ==_/8й 2Й\
q dq ^ я2 ^ с2 /
Эю можно легко проверить непосредственно. Соответствующие значения s и w
будут:

-q(z-Z),
¦Я?
¦>к
5.(2^ -я*) -2 т.
(5)
Жидкие поверхности. Рассмотрим теперь, каковы жидкие поверхности, то-
есть, поверхности, содержащие с течением времени одни и те же частицы.
Эти поверхности Х = const, как известно, являются решениями уравнения в
частных производных
дк дк . дк
dt dq 1 дг
Соответствующая система обыкновенных уравнений
dz
dt

dq
2k . у. - q (г-Z)
2 Jc
* (.г-Z)*.
2 к
(2g*-"*) - "/•(?)
Как видим, легко образовать новое отношение, равное предыдущим, в виде:
-§'/(*-*) + [Щ- i (* - ZY + ч (2?2 - "2)
]di + ~ <? <* - 2) dt.
2Тс " -~ТЧЧг-
то есть:
J
2fe
с*
д"(я -Я)
dZ
d?
+ 2/'(0
Если в частности взять
fit)--
1 dZ
2 dt '
(6)
то среди жидких поверхностей окажутся те, уравнения которых
<?8 , (я -Z)(r)
¦¦ const
и, в частности, в том числе поверхность
(г - Z?
--и- --------1=0.
Если положить с = а, то это будет сфера. Скорости и функция тока ф будут
даны уравнениями (4) и (5), учитывая при этом (6).
Вычисление давление р. Возвращаясь к уравнениям (1), видим, что они для
рассматриваемых частных решений примут вид:
1 др 4 №
- - = -- q (2g2 - я3); р dq аЧг
1 др № №
- я- = -¦ (я - л) Т ('3 - Zf - Z ,
ь дг с- 4 ' сА 4
откуда получаем:
р _ 2№
Р я3с3
+ "(._w+xia,
где к(/) функция от t.
Вихрь. Если вычисляем вихрь, то его значение Q находим непосредственно
дг dq \ п3 ^ с3 j i'
Кроме к = 0, вихрь будет отличен от нуля вне оси (К-. Движение,
определенное всеми вышенаписанными формулами, будет, следовательно,
вихревым. Мы его примем для движения внутри сферы радиуса а, положив во
всех уравнениях а = с.
При этих условиях, на рассматриваемой сфере будем иметь для q, г, s, iv,
р следующие значения, которые мы отметим значком г:
q = a sin 6, s - Z= a cos О,
s, = 2к sin S cos б, ivt = Z' - 2к sin2 О,
= 2й3 cos3 6 + -i- &3 - aZ" cos 6 4-^.
P 2 p
Теперь мы определим внешнее движение, безвихревое. Движение вне сферы.
Заметим, что уравнение Дер = О, которому удовлетворяет потенциал
скоростей, здесь имеющихся, обладает частным решением
_1 _ _ J______
п ~ Y^+iz-zf'
*(±)
а, следовательно, также решением -, или еще
OZ
Этой функции уе соответствуют:
- = ^__
"'h __ ,,3У' |/i (л-Z)3-fl*.|
2Я6
и, следовательно, но (1), принимая значения
дЬ &'f,
s == и ю == dq дг
заключаем, что
1Г =: 2Ж{ (й" " ^ ^ + 3 (' ~ Zf z'2
где T(t) функция одного t.
На поверхности сферы (R=sa) находим легко:
Hi"9oose'
(*¦>."^(1-I-"*)'
j)riz"cos 0 " т*'+i cos ,i+ f-
Значение сопряженной с <? функции тока, посредством которой s и w
выражаются формулами (2), есть
аРУ'ф
Vi:
2J?3 -
Соответствующие жидкие поверхности X = const удовлетворяют уравнению
9Х . 1 9^ 9а 1 9ф4 9Х _
dt ' q дг dq q dq дг
Это уравнение будет иметь частный интеграл вида:
'-*,+^444)'
если взять У/ (/) = const. В самом деле, тогда
Внеся вое это в уравнение относительно производим непосредственную
проверку. Следовательно, среди жидких поверхностей будет фигурировать
сфера R = а. Мы видим, что центр этой сферы движется равномерно по Ох.
Непрерывность при переходе через сферу. Мы должны иметь на сфере с двух
сторон поверхности одинаковые скорости и давления.
Значения s с одной стороны и с другой суть:
они также совпадают.
Наконец, видим, что давления также совпадут, если Т и ъ(1) связать
соотношением
Таким образом, построено полное решение задачи. М. J. М. Hill очень
изящным способом обобщил свое решение на случай эллипсоида вращения.
s, = 'Ik sin 0 cos О
они совпадут при:
Значения tv будут:
id. = Z' - 2/с sin2 0,
ГЛАВА IX
КОНФИГУРАЦИИ ВРАЩЕНИЯ. ВИХРЕВОЕ КОЛЬЦО
Общие понятии. Мы будем рассматривать неограниченную жидкость, в которой
все вихревые линии являются окружностями с неподвижной осью О;
предположим, что имеем конфигурацию вращения вокруг этой оси. Вдоль
вихревой линии величина вихря остается пеизменной. Если такая
симметричная конфигурация существует в начальный момент если кроме того
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed