Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 36

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 66 >> Следующая

в плоскости Z.
Отсюда следует, что скорость вихря Zx получится в виде двух слагаемых:
1°) скорости, выведенной из функции тока
6* = -----------------
2 Y 4т:
1 Sli-
de п
Hz
2°) окорости, полученной из комплексного потенциал Г (2^4) - Г ( Х+.Т+
Эти два слагаемые происходят соответственно от двух членов правой части
(14).
Далее, находим:
ds |ц dZ I :
У
2
(Х2 + У2)2- 2(Х2 - У 2) 4(Х2+У2)2 ~
Две скорости, написанные выше, будут, следовательно, получаться от двух
функций тока
I

Т2 :
2 lg[(X*+y")a -
к(г~хгЫ'
igy (х*+у2-j) -
2 (X2-- У3)-j- 1}]
(15)
откуда скорость перемещения вихря:
U ! _% )
1 8Y ' дУ'
I (,6)
1 ЭХ дХ
(Мы не будем переписывать индекс 1 в правых частях.)
Найдем, какие условия должны иметь место, чтобы изучаемая конфигурация
была перманентна относительно цилиндра; для этого необходимо и
достаточно, чтобы U1 ж F, обращались в нуль, что дает нужные
условия. Так как ^ и содержат соответственно I или V множителями, то
одно из двух рассматриваемых уравнений, например F, = О,
I ' г т.
определит отношение -у, и мы получим условие, независимое от I и 1,
цутем исключения этого отношения из двух уравнений Ь\ = Vt = О, т. е.
написав
ФК 9^
ЭХ _ 9У
дЬ- (17)
ЭХ 8Y
Это последнее уравнение, содержащее только X и У, даст нам геометрическое
место точек, где может быть помещен вихрь Zv если поставить требование,
чтобы конфигурация была перманентной. Вычисление ведется легко в полярных
координатах, если заметить, что уравнение (17) выражает, что две кривых
'ij == const и 'Фа = const, проходящие через рассматриваемую точку,
касаются в этой точке. 1
Нужно, следовательно, только выразить условие касания кривых о4- 2 р2 cos
2 (о -|- 1 = а3 р2 (р2 -1)20-cos2<o), 1 smo)(p2-1) = 6 о )
(где а я Ь постоянные), в их общих точках. Для этого достаточно написать,
что в такой точке значения , взятые из обоих уравнений (18), равны.
Элементарное же вычисление дает:
_ Sin 2 (О = Р (р2 " !) № (Р2 - !)3 + 2 (Р2 + г)]
dp [Я2р2(р3_1)3_2р2]а
dm ____ Ь(раН-1)
• COS <о
dp (pa- 1)а
г,,1 ^ак как т0 же условие выражает, что функциональный определитель
Ь(Х7гУ Равен НУЛЮ. то оно эквивалентно также уравнению д ^ ^ = чт0'
после записи ^ в а,2 в полярных координатах, проводит нас непосредственно
к уравнению (20).
diо
и приравнивая оба значения ~щ~> имеем:
2 sin <о =
2р(р2 - I)3 [а2(р2 - I)3-)- 2 (р2 + 1)] Ь (р*~f 1) р* [я2 (р2 -' 1)" -
2]2
(19)
Остается только исключить а2 и Ь из (18) и (19); имеем непосредственно,
используя (18):
что можно написать в виде:
Нужно использовать только ту часть этой кривой, для которой Y > 0, и р >
1, так как рассматриваемый вихрь находится в верхней полуплоскости и вне
цилиндра; следовательно, при сохранении только одного надлежащего знака,
имеем кривую
Эта кривая симметрична относительно оси 0Y. Она отходит справа от прямой
0Y из точки Х = 1, Y - 0, имея касательную, наклоненную к оси ОХ под
углом 45°; ветвь, изображенная на рис. 36, имеет асимптоту, проходящую
через О, составляющую угол 30° с ОХ.
На этой кривой, или на симметричной с пей, надо поместить Zu чтобы
получить перманентное движение.
Небезынтересно отметить один метод, принадлежащий Caldonazzo (Atti dei
Lincei, mars-avril 1919, 5-e Serie, vol. XXVIII, p. 191, 301), который
удачным преобразованием изложенного метода легко получил соответствующие
результаты и в то же время выяснил вопрое об устойчивости рассматриваемых
вихрей. Большой интерес имеют также статьи L. Foppl, Wirbelbewegung
hinter einem Kreiszylinder (Sitzungs bericbte der kon. Bayerisehen Akad.
der AViss. 1913, Mtinchen) и La-gally, Ueber die Bewegung einzelner
Wirbel in einer stromenden Fltis-sigkeit (id. 1915).
He имеет большого значения, идет ли речь о цилиндре вращения или о
цилиндре какого угодно сечения, лишь бы только была сим-
Внося эти значения, а также
silt 0) (р2- 1 )
р
в (19), имеем после приведений
(р2 - I)2 = 4 р* sill2 ш,
1
Р
(20)
метрия относительно ОХ в плоскости Z и чтобы можно было ограничиться
рассмотрением лишь половины картины движения со стороны положительных
значений Y; достаточно суметь конформно отобразить ату область на верхнюю
г - полуплоскость с помощью соотношения
e = A{Z). (21)
Мы видели, что можно получить движения вихря Zv накладывая скорости,
происходящие из двух функций тока ф, и фа, определенных уравнениями,
аналогичными (15). ^ будет представлять функцию ''А, дан-
А
ную равенством (12). Что касается то это будет функция тока,
У У
(у.)
-У 'Л
4 0/ о
Рис. 38. Рис. 39. Рис. 40.
полученная из конформного отображения области жидкости (выше оси ОХ)
на полуплоскость. Вообразим теперь вспомогательное фиктивное движение без
вихрей, занимающее туже область плоскости Z. Назовем гф2 комплексный
потенциал в этом фиктивном движении и выберем ф2 так, чтобы эта функция
тока обращалась в нуль на границе плоскости XOY.
Положим:
/2 = ?а "Ь (22)
Приравнивая тогда
b = U (23)
иолучим через (21) конформное отображение области (А) плоскости Z на
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed