Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 48

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 66 >> Следующая

Это следует, впрочем, из того, что он зависит только от I и удовлетворяет
уравнению Лапласа относительно q, s.
Отсюда следует, как это легко было предвидеть, что вблизи поверхности
имеем:
ф = - lS - + qh, (40)
где величина h остается конечной вблизи кольца. Мы опять приходим к
выражению (22) в первом приближении, и подсчет, проведенный аналогично
прежнему, дает нам снова скорость переноса кольца
с главной частью (24), т. е. - lg г0, с точностью до конечной
4ita
величины.
Применим формулы:
1 Эф I Уа з-b dh
q dq 2я У q '12 ds
1 Эф _ I Y a I У a q - a , h t dh
q ds У q 2it У q Z2 q dq
(41)
в точках, внешних и смежных с кольцом; рассмотрим, как меняется квадрат
расстояния от центра диска
(q - а)а + (я - bf,
т. е. рассмотрим производную по времени этого количества:
Но мы имеем:
da db Ilgr0
dt ~ ' dt 1 ~ 4тиа '
затем
dq ds
~df S' ~df ~~W'
следовательно, делая замену, находим для L конечную величину, которая
может быть принята за нуль лишь приближенно. Отсюда следует, как это мы
уже предвидели раньше, что сечение С кольца,
предполагаемое в начальный момент круговым, не может сохраняться беа
деформации. Изучение изменения его формы относится в общей задаче,
которую мы будем рассматривать дальше. Вычислим теперь давление во
внешних точках вблизи кольца; оно дается второй из
формул (36). Мы легко убеждаемся, что член в ф |-------------^ ]g "-0 j
дает в выражении для р величину порядка Лг0 lg "-0, т. е. порядка ngr0
-, так как
Г° 1 = 2Апаг0-.
С другой стороны, формулы (41) показывают, что s и w становятся очень
большими, порядка -, так htojo становится очень боль-
го
шим отрицательным, что можно было предвидеть. Бесконечно тонкое кольцо
является, следовательно, лишь математической фикцией, но формулы остаются
такими же, как мы их нолучили, и выражения, касающиеся тонких колец,
будут являться приближениями к реально возможным случаям и приближениями
тем лучшими, чем ближе мы к случаям, когда давления делаются всюду
положительными.
Замечание. Уместно отметить одно частное затруднение, встречающееся в
изложенном здесь приближенном вычислении. Мы имели дело с интегралом
о
где _____________________________________
r=Y (.г - г'У -[- q- г/'2 - 2(/г/ cos s',
и взяли приближенное его значение вблизи кольца равным: Ш
или, иначе,
где
4= 1st V + у (/г'2 = -il -jM-.ilL ]
W \ Y-zV+(.q+<iy I
V чч
r = + ¦
1. W ei n gart. e n (NachricMen zu Uiittingen, 1906, p. 61-93), исходя из
факта, что
COS e
я мнется потенциалом линии плотности--, распространенным на
окружность радиуса <]', к которой сводится кольцо, применяет общую
формулу Риманпа о потенциалах линии (Riemann, Sclnvere, Elektrizi-t.iit,
und Magnet., Absclni. T, tj 17) и получает вблизи кольца выражение вида
№ = - y
где д, так же, как у и у1; остается конечным и непрерывным при з = г', q
= q'. Исходя из итого выражения, он развертывает вычисления и находит для
скорости переноса кольца в направлении Оз значение, удвоенное
сравнительно с полученным нами выше. Отсюда он заключает: "писавшие ранее
авторы находили лишь половину выражения, данного мною, что представляется
мне неточным". Основанием такой двойственности служит то, что Вейнгартен
пе исследовал, можно ли пренебречь первыми частными производными функции
д
1 ,
сравнительно с производными члена lg г1, рассматриваемого как
главный член. Мы провели выше для функции у соответствующую проверку,
каковая остается, очевидно, верной также для yt. Но очень легко
убедиться, что: 1°) разность^ - у4 остается конечной для "•, = 0; 2°) что
это не имеет места для разности производных
дУ ду, dq dq '
В самом деле, положив ради упрощения:
Ц - у'Л' ri oos г = г' sin <в,
имеем:
cos ш
9~b=7W7T7lH'rieru
что очевидло стремится к нулю вместе с и $9
Находим легко, что разность -------- сохраняет также конечное
значение при этих условиях.
Но мы имеем:
dg Зу, lgrj cos2 (в
dq dq 2q Vq Vq' q' Vq {Vi + Vq') и ясно, что эта разность становится
бесконечно большой при г1 = О.
Это замечание показывает, что предосторожность, принятая выше,
относительно поведения производных от у, вовсе не была излишней. Во этому
поводу отсылаем к интересной статье R. Thiry (Congres des Sociotes
Savantes. 1921A
ГЛАВА X
ИЗЛОЖЕНИЕ ОБЩЕЙ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ. О НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ,
ОТНОСЯЩИХСЯ К РАЗРЫВАМ
Общая задача. На предшествующих страницах мы изучили различные частные
случаи вихревых конфигураций. Если для наиболее простых из них мы смогли
выяснить, что вихревой объем нереме-щается, сохраняя свою форму, мы
должны были констатировать, что в случае тора поверхность его, являясь
поверхностью вращения, имеет меридианальное сечение, которое лишь
приближенно сохраняет круговую форму. Мы поставим следующую общую задачу:
предполагая известной в начальный момент (0 конфигурацию неограниченной
идеальной жидкости, содержащей одну (или несколько) вихревых областей,
определить для момента t > t0 новую конфигурацию жидкости и
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed