Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Это убеждает нас, что скорость перемещении вихря I не бесконечна. Чтобы
она равнялась нулю, нужно записать, что в написанной выше вазности
отсутствует постоянный член. После приведений и использования уравнения
(21), получаем условие:
Т =
р-2 ра ра _f os2 -J- |
(22)
Итак, между пятью числами (L, a, р, d, f) имеем соотношения (18) и (22);
остаются три параметра; роль постоянной L заключается лишь
в том, что этот коэфициент пропорциональности преобразует фигуру в
подобную.
Вместо параметров d и f можно ввести <Oj и ш3, что более просто при
вычислениях. Тогда уравнение (18) дает а2; уравнение (21) позволит узнать
интенсивность I вихря, и уравнение (22) - где d a f выражены в функции
чисел ех, с3, т. е., следовательно, <"] и <о8 через (18') и (14) - будет
уравнением относительно (З3.
Как легко убедиться, это уравнение относительно ,3- имеет единственный
положительный корень. Так как d - e3 - ev f=es-elt то отсюда следует, что
< d < 0, и без труда убеждаемся, что измедение у как функции, данной
уравнением (22), представлено кривой на
рис. 47. Следовательно, имеется только один положительный корень,
представленный точкой S.
Мы не останавливаемся здесь на задаче действительного определения Wj,
<о3, а, р, L, когда задаются размеры фигуры в плоскости Z. Однако,
заметив, что величина а2, определенная (18), попадет, как это необходимо,
между ех - и ех - е8, ибо это сводится к утверждению, что
а последнее является следствием классических формул теории эллиптических
функций (Tannery et Molk, XXX, 2 и 3):
Рис. 47.
и
Гц + eg(r)! > о
¦% + Йз(r)! < О,
Формулы однородности эллиптических функций показывают без труда, что если
умножить <olf ю3 и s на п. то это сведется, согласно (15), 1 ^
к замене Z на - А следовательно, по существу, к изменению множителя L.
Чтобы определить конфигурацию плоскости Z, остаются,
т л
следовательно, только два параметра Л и . С помощью этих параметров можно
определить величину обтекаемых отрезков и их взаимное расстояние.
Положение вихря Г тогда определено. Любопытно заметить, что задача, по
виду более простая-отыскать конфигурацию, аналогичную изученной выше, для
двух вихрей позади единственной плоскости, нормальной к потоку, не дает
перманентного приемлемого решения. Пусть, в самом деле, А'О А - данный
отрезок ширины 2я (рис. 48);
О
Г iZ' | \
V _ - ' \
Рис. 48.
ID) Ю)
(А) (8) (С)
-со о -со в Рис. 49.
предположим, что скорость на бесконечности равна V0, и предположим
установившееся перманентное движение с двумя вихрями J и J' позади с
интенсивностями I и - Т. Мы сперва поставим в соответствие верхней части
плоскости Z, ограниченной DOABC, верхнюю полуплоскость s (рис. 49)
соотношением
Z=Y^ - &,
где а есть длина ОА. Как и раньше, имеем тогда комплексный потенциал в
плоскости г в виде
/¦= V0s + -^ lg j-з,
где V0 изображает скорость на бесконечности в двух плоскостях s и = 1 на
бесконечности.
Z, так как
ds
Мы сначала выразим условие, что в точке А, конце обтекаемого отрезка,
скорость остается конечной. Скорость же (и, ",-) выводится в точке,
отличной от вихревой, из формулы:
У^- "2
dZ d& dZ &
yj.+
_L/_J__________i)
2гп \ z я-я/J
мы видим, следовательно, что вообще правая часть бесконечна для :¦ = 0
(Z=ia); исключение будет только в случае, если выполнено условие
I I Л 1 \
О)
что дает одно только уравнение между вещественными количествами V0, I, yv
(jx == ./.у щ). Посмотрим теперь, может ли
вихрь J оставаться неподвижным. Скорость его перемещения дается, как мы
видели, равенством
= lim
Z = Si
v , JU_1 ! V L 1 I
0 ' 2"V \ s - .4 s - si ) 1 Z-Zlj'
но здесь
V sx - a2
a*
1 _У'У - a* Z- Z, ~ s,
2 (*, s -a2) 2 a2______
2,y Vly^a2
s-(*-*i)84 + о (с
и также
У у-a2
a-1
1
У /у -a2 ¦O' (a
г (-•--i)4-
Без особого труда убеждаемся, что в проделе имеем: V У - а-
Л! ал- Г I
2гк(,'4 - 4 0 .
/а2
4ir,y/У -"3
Надо, следовательно, написать, что это количество равно нулю. Условие,
отсюда полученное, распадается на два, если отделить вещественную часть
от мнимой, и мы находим:
(4zF0 у J-) (.у _ Зу,щ -}- а%) УI"* - О,
(2)
У - За^у - "у =0. (3)
С другой стороны, уравневие (I) носле упрощения запишется:
к70(УУУ)У У, = 0. (4)
Это уравнение нам показывает, что если V0 > О, то / должно быть
отрицательным, что очевидно и a priori. Исключая отношение ~
'о
из (2) и (4), будем иметь два уравнения между ./¦, и //., а именно
уравнение (3) и следующее:
(%,2 - о2) (у,-~ W + "У) - "2 (V 4- у2) = О-
Но легко убедиться, что эти уравнения не имеют иных решений, кроме x1 =
yi = 0. Этот результат очевидно неприемлем, так что поставленная задача
не имеет решения.
Для аналогичной проблемы, относящейся к случаю цилиндра вращения,
например, вместо пластинки АЛ', рассмотренной здесь, получим вещественное
решение предшествующего параграфа. Основание этого различия результатов в
обеих задачах, столь схожих с первого взгляда, основывается на том факте,
что в случае пластинки мы имели одним условием больше, а именно, что
