Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости г, будет обладать потенциалом Ф и функцией тока Чг, которые
равны 9 и ф в соответствующих точках. Отсюда следует, что вихревым точкам
одной плоскости соответствуют вихревые точки другой и что интенсивности
вихрей сохраняются при преобразовании. В самом деле, циркуляция вдоль
малого контура, заключающего вихрь,
например, в плоскости з, будет, как известно, равна интегралу J d(r),
взятому вдоль контура, в положительном направлении. Ее значение, равное
также интенсивности вихря, будет то же вдоль преобразованного контура в
плоскости Z, так как значения 9 по определению одинаковы на обоих
контурах.
В этом смысле можно сказать, что конформное отображение сохраняет вихри.
Но, естественно, что скорости перемещения вихрей не сохраняются. Мы
сейчас увидим, как можно сравнивать скорости перемещения в обоих
движениях.
^Известно, что в плоскости з скорость в некоторой точке з (отличной от
вихревого центра) дается в виде:
Если же взять вихревой центр г, интенсивности Г, то достаточно
df г 11
в ¦- -- отбросить член ---, относящийся к данному вихрю, та
что скорость ("j, точки st будет дана в виде:
df I 1
'h - Щ = lim
Z~Zy
Во второй плоскости будем иметь аналогичные результаты, так что можно
написать для скорости Uu V1 точки Zv замечая, что функция f одинакова в
обеих формулах, но выражена в различных переменных:
df I 1
J/j - iVj = lim
Z - Zy
или иначе можно написать:
v d u -iv, = lim -=-
ds
V. - * V, - lim
dZ 2i~ Z-Zj
f~2^{*-*0 f~ 2Sf'^Z-Z->
(2)
0
I
• Z,
Надо заметить, что в правых частях ни в коем случае нельзя переставлять
знаки предела и диференцирования, так как может случиться, что пределы
функций внутри скобок не будут более аналитическими функциями зг или Zv
Возьмем, например, случай вихревого центра интенсивности I, движущегося в
верхней в- полуплоскости, ограниченной твердой стенкой вдоль бесконечной
оси Ох. Известно, что дело сведется к тому же, если уничтожить стенку,
прибавляя к первому вихрю I другой, симметричный первому относительно Ох
и противоположного знака. Предполагаем жидкость по-есконечности;
комплексный потенциал тогда
Рие. 29.
коящеися на будет дан уравнением
- lg -
2гтг 6 з-
где sf число, сопряженное с в1 (= хх iyf). Имеем, следовательно,
выражение, предел которого, очевидно, равен:
-i,g(2^
и не представляет аналитической функции от sv Но в данном случае мы
имеем:
Jl
ds
2т s-
и скорость перемещения будет дана, согласно (2), после перехода к пределу
в виде:
--; (3)
4 и/i V
, vx = 0 (результат впрочем уже из-
следовательно, имеем и1 ¦¦
4'к"/1
вестный). Замечаем, что эту скорость можно рассматривать как происходящую
от функции тока х(хх, </j); полагая
У. (% Уд = lg !Ji, (4)
в самом деле, имеем:
ду ду
Ul~dyl' v~
и возможными траекториями вихря будут линии
¦у = const,
то есть у1 = const.
Замечаем также, что эта частная функция тока является половиной мнимой
части предельной функции от
f-
IgO -*i)
полученной раньше. Утот результат относится к общей теореме, которая
будет изложена далее.
Вернемся теперь к уравнениям (2) общего случая. Ясно, что можем написать:
U1 - i Fj = lim
dZ
+ lim oi
2411
Ig(s - ,ey)
2 *ic dZ
или еще:
z-z;
Но мы имеем:
Z-Z,
и, затем,
'" | Z-ZJ db \
\ dZ / j 2
1 / cPs \
, _^w2A
d г
dZ bZ-/_de_\
I dZ / j
и, следовательно, окончательно:
Г/j - iF! "(и,-""!) (-5^^+4йг(-^-18дг)1- ((r))
Из двух членов, стоящих в правой части (б), ясно, что второй член
является аналитической функцией Z{, но это не будет иметь место вообще и
для первой функции, так как, очевидно, может случиться, что м,-iv j не
будет аналитической функцией sv Но выше приведенный пример (где Z - s)
убеждает нас, что даже в этом случае может случиться, что вещественная
часть и мнимая с измененным знаком от
выражения (% - ivt) | j получаются диференцированием функции
тока y.(Xj, Fj). Так как в последнем члене формулы (5) коэфициент
d 1 , ds I
-jt, , то отсюда заключаем, что
при г под знаком -т>>- есть -lg
скорость Uv V, получается диференцированием функции тока
ОД, F1) = X(X1, У,)---L lg|-^[, (G)
по формулам
U = "L V=-^-1 5Fj ' 1 дХ1'
Пример. Пусть мы изучаем движение вихревого центра внутри
и
угла, ограниченного двумя полупрямыми, составляющими угол -, и
%
занятого жидкостью, покоящейся на бесконечности. Конформное
преобразование рассматриваемой области в плоскости Z на верхнюю
полуплоскость Z очевидно совершается фупкцией
гуП
и в плоскости с функцией f будет хорошо известная функция
отсюда заключаем, что
4-куi '
имеем
ds
dZ
= nZ'
так что применяя формулу (б), опуская индекс и переходя, кроме того-к
полярным координатам (Х=реы), находим для части (/', V' в вы-
Рис. 30.
Рис. 31.
dy=- V'dX+U'dY--
ражении скорости U, V вихря, получающейся от первого члена, следующее :
In е*{п~1)ш
Zj' - iV' = Zf-- .
4тс р sm п (в
Чрезвычайно просто установить, что определенные таким образом U', V
получаются диференцированием функции тока у (X, Y). В самом деле, эта
