Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Давая теперь X значения агр (ар =? 0), которые будем предполагать малыми,
легко видим, что правая часть будет оставаться вещественной, если только
e"(2(r)1), elv(2(Dj)... обращаются в нули. Следовательно, разность
e(X-j-2a>,)- е(Х) = е(2(r)1) (28)
есть постоянная. И, далее, / (X) делая функция, имеющая период 2<Bj.
Имеется, очевидно, бесчисленное множество функций е iet = Е, которые
удовлетворяют полученным таким образом условиям. Например, можно взять
с (г) = 2 Рг, ех = 0, Е = '2Рз,
где Р означает какую-нибудь вещественпую иостоянную. Для этих частного
вида функций будем иметь:
"/(s) = ;(?') +2/'?,
и, следовательно,
9 ((r)) - Iff " С1) ~Ь I'-p + Q,
т=
Мы заметим, что функция принадлежит к ;,т0(r) категории.
В самом деле, имеем классическую формулу, связывающую функцию Якоби Ч, с
функцией а (г):
' (2(nl)
что доказывает с очевидностью принадлежность функции О
к числу выражений, возможных для /'(а). Это именно будет та функция, к
которой несколько дальше мы придем, когда подойдем к более точному
рассмотрению изучаемого нами движения.
Предварительно сделаем здесь следующее замечание.
Замечание. В задаче о прямоугольнике, рассмотренной ранее, мы имели
комплексный потенциал у2, полученный суммированием
1
Рассмотрим здесь, в свете того, что предшествовало, насколько потенциал
х2 является таким, который нужен.
Согласно только что сказанному, мы должны иметь для комплексной скорости
в какой-нибудь точке (отличной от вихревой) выражение вида:
4 п
,, d/л _ 1
У 1кдЧр - зк), (30)
- ds ^ '
1
где
s'= У = ?(*) +Я СО; (S1)
Е (.") удовлетворяет уже высказанным условиям, т. о., что E = e.-\-ie{.
ел-четная функция, обладающая периодом 2ш,; с - нечетная и удовлетворяет
условию:
е (X -f- 2m,) - с (К) = с (2(r),).
В силу условий
W = - 1к> гк = Ч + ihk' Чп+к = a/i + 2u>3 " ibk>
имеем:
1 ~'1
и iv = -- 2 1к W ( - - Ч ~ ibk) - </ (г - ак ~f ibh 2u>3) |.
i
Стороны прямоугольника, параллельные Ох, должны быть твердыми стенками:
г, должно на них быть равно нулю; это дает непосредственно условие, что
разности
g'(,v - ak - ibk) - /С'-- Ч + 2(r)з) \
O' (х - ак -f <о3 - ib,) -¦ (/ (х - а,. + ibk - <о3) j
должны быть непременно чисто мнимыми, каковы бы ни были вещественные
числа г, ак, Ь,;. Так как функция ? (г) сама удовлетворяет этим условиям,
как в этом легко убедиться, то следует просто пани-
сагъ, что функция Е - е-\-гс{ удовлетворяет им в свою очередь. Полагая
получаем:
а (т - in') -f- iet (т - in') - с (т -(- in' - 2ш3) - iei (т -j- in' -
2<й3) =
с, (т - га) -a'Cj (т - in) - е (т -j- га) - iet (т -)- га) = чисто
мнимому.
суть количества чисто мнимые. Ив второго уравнения (33) получаем:
где е, целая функция с вещественными коэфициентами; правая и левая части
этого тождества являются мнимыми сопряженными, которые должны,
следовательно, быть постоянно вещественными. Функция гу (г) вещественна
при всяком значении s. Следовательно, с 1 (^) сводится к вещественной
ностоянной.
Первое из условий (33) требует тогда, чтобы
По рассуждение, тождественное с тем, что было сделано выше относительно
периода 2<Oj, нам покажет, что отсюда следует, что
Производная г.' (к) должна допускать, следовательно, период 2а>3, но она
уже допускала период 2(r)t; она должна, следовательно, сводиться к
ностоянной А (очевидно вещественной). Вследствие того, что е нечетна,
имеем:
= чисто мнимому
Но
е (т - га) - е (т -j- га) и е, (т - га) - иг (т -(- га)
с (т - га') - е (т -)- га' - 2<os) = чисто мнимому,
и так как
е (т - in') - с (т -f- in') = чисто мнимому,
то это сводится к утверждению, что
е (т -f- га') - е (г in' - 2ш3) = чисто мнимому, или еще, что при всяком
X.
е (X -)- 2(r)3) - е (X) = чисто мнимому.
и также
е' (2(r)д) - с' (О) = О, е'" (2"3) - с'" (0) = О, с (X + 2ш8) - г, (X) = с
(2<о3).
(34)
где А и О вещественны.
с<г) = Лг, E=As-\-iC,
(35)
Наконец, комплексная скорости в иашей задаче относительно прямоугольника
должна иметь вид:
d
in
(Нi (36)
1
Но в атом выражении член (As -|~ Ю) исчезнет но причине очевидного
условия
All
2'" = о.
1
Легко установить посредством формул:
Зп + к = - *к -ь 2"! + Ч!к, + - h•
'*2п к=== Хк 2"з iyk, !'М + к==~ *к>
s"n + к = ~ ¦'* + 2% + 2(r), - /3)И. * = 1к,
что все группы
^кВк "^~ +*г-п+Л-Ь + ^Зи -|- к "зп - к
обращаются в нуль и, следовательно, сводится к виду
CiZ
d7.t
ds '2v
in
что совпадает с тем, что было нами принято. Возвратимся теперь к задаче,
которая нами была поставлена, относительно движения наших вихрей между
двумя неподвижными стенками х = О, х = ю,.
Мы видели выше, что функций •/ возможно бесчисленное множество и что
комплексная скорость должна иметь следующий вид:
dA
L4
^ 2 ЫС (- ¦- ¦?*) "I- с (з ~ -".) + *1 (з - ,г")|,
ds
1
где с функция целая, нечетная и с вещественными коэфициентами, а г, тоже
целая с вещественными коэфициентами, но четная; г, будет обладать
периодом 2ш,; а с (?) должна удовлетворять условию
г (г -j- 2(0;) - е (s) = с (2(0^.
Отыщем теперь среди определенных таким образом функций те, которые могут
