Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
интервала (О, Т) К равно К0 - , а в течение другой поло-
вины jKq -f- ; скачок происходит в момент выхода вихря, К0
обозиа-
А
чает, очевидно, циркуляцию вокруг цилиндра С, которая может быть нулем.
Следовательно, в интеграле (12) первый член из (14) дает величину- 2 VTK0
или нуль, если циркуляция равна нулю вокруг погруженного твердого тела.
Чтобы подсчитать, что происходит из второго члена (14), замечаем,
что л = и что в течение первой половины интервала (О, Т)
надо взять е = -(- 1, а в течение второй г = -1; перемена знака, как и
выше, происходит в тот момент, когда вихрь пересекает сторону С0.
И2Т
В результате в (12) надо ввести тогда -7- Q, полагая
1C I
со _ ?
Q== / (1_V^ [cosh 7 (т+ih) +cosh Т (~ Т + Л) "2]
О *
или иначе
2 = 2 Г - --------=- ( cosh i-cos? - 1) dh.
J (1- е~У \ 2 I I
Элементарным путем находим:
1
I
(1- 1-е~5
/
е 5 cosh ^ j
(1 е )8 2 sinh ~
Затем интегрирование по частям дает:
№
сг - cosh -¦
Сразу видим, что скобки равны-------------------------, так что
проинтегри-
sinh ^
рованная часть сводится к единице. Для оставшегося интеграла можем, кроме
того, написать, согласно (13):
<й = -"
6____
2 г
ihj _ т_
е 1 - е 1
у ¦-?-е 2 -е 2
к , ih\
со
/([
О
_"(J_ 4- ) g
0 '2 Z '
- +
I
1 , ih}
1- е
/ 1 ih \ ,
1-(
^(т+T-) г'{т-т)
Лт+*) Нт-т)
Это выражение, в силу (2), можно написать в виде:
''2[ 1 .Л-.- ~~1 кг]'
L |__4_тс - _-f-ftj
2-I-T + 1
или еще:
г"
или, наконец, согласно элементарной формуле,
¦кк
irtgh-
l '
В конце концов получаем:
2=1-
тЪ , , тсh
~rtgh ->
и, следовательно, имеем:
f (lim J) dt - - 2 VTK0 -j- 11 -j~ tgh j.
(15)
Заключение. Внося в (4) выражения (8) и (15) и беря вещественные части,
мы получаем, наконец:
что и является формулой Кармана, уже полученной нами ранее более
элементарным способом [Л'м совпадает с (- Wm) в формуле Кармана].
Оба метода, ив которых последний очевидно более точен, приводят к одному
и тому же результату. Однако, мы изложили оба метода.
Заметим в заключение, что мнимые части уравнения (4) дают соотношение
*" = - pra*
что является в данном случае не чем иным, как теоремой Жуковского
относительно сопротивления цилиндра, вокруг которого существует
циркуляция К0.
ГЛАВА VI
РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ. ВИХРЕВЫЕ ЦЕПОЧКИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ
В предшествующих параграфах предполагались вихри (цилиндрические
бесконечно тонкие), расположенные в бесконечной жидкости, которую мы
рассматривали только в сечении плоскостью хОу. Можно также, как показал
F. Jaffe (Annalen der Physik, 61, 1920, p. 173), обобщить эти результаты,
чтобы легко получить уравнения, соответствующие случаю системы вихрей в
жидкости, содержащейся между неподвижными стенками.
Система п вихрей между двумя параллельными стенками. Мы выберем оси так,
чтобы эти две стенки Г)1 и /А, изображались уравнениями
d
.С = О И
И МЫ ПОЛОЖИМ, что
"к - ак "Ь
обозначает положение в момент I вихря с интенсивностью /г Присоединим к
заданной системе вихрей S систему S', образованную п новыми вихрями,
симметричными первым относительно D,;.
1п + к~ dk' an + k~d ttk' Ьп + к = Ьк. (1)
Затем будем присоединять неограниченно новые вихри путем отображения. Мы
будем иметь тогда 2п вихревых цепочек, горизонтальных, аналогичных тем,
что мы рассматривали в предшествующих параграфах; ясно, что
соответствующий комплексный потенциал будет
2 П
7л = ?i + ^ 2 lg sin 1Г_ Sh)' (2)
1
если предположить, как это делалось нами и прежде, что скорости равны
нулю на очень больших расстояниях; мы предположили, следовательно, что
скорости равны нулю при бесконечном у.
Ничто не мешает нам еще предположить, что совокупность наших вихрей, так
же, как и вся жидкость, имеет поступательное движение иатллельно оси Ои:
твеолые стенки пни этом сохраняются (в дальнейшем
мы увидим полезность этого замечания), но в данный момент мы не будем
делать это допущение. Чрезвычайно легко увидеть, что написанная функция
Xi удовлетворяет условию покоя при бесконечном у.
Кроме того функция ул такова, что всякий вихрь н всякая точка, полученная
как отображение вихря, будет являться полюсом первого
1 j j
порядка для с главной частью, равной -*-----------------------. Это уело-
(tZ Z ~' Zfa
вие, присоединенное к условию покоя на бесконечности, определяет
вполне функцию ii (с точностью до постоянной, которая очевидно не играет
никакой роли).
В самом деле, вычитая из функцию
2л I
получаем аналитическую регулярную функцию, не имеющую полюсов на конечном
расстоянии, которая является, следовательно, целой функцией. Вычтенная
часть дает вещественные скорости на бесконечности в направлении Оу; целая
функция дает скорости постоянные или бесконечно большие, соответственно
тому, сводится ли она к постоянной или нет. Чтобы выполнилось условие
равенства нулю на бесконечности, необходимо выбрать целую функцию равной
нулю. Тогда ул определено с точностью до постоянной в форме, данной
уравнением (2).
Условия на стенках /)1 и 2)а очевидным образом выполняются; в силу
