Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 33

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 66 >> Следующая

2тс
ig
о, (Z-8) о, (3-8)
4т,,8
X
a(Z+8)oa(Z+8)
относительно осей, указанных на чертеже. Следуя в точности рассуждению I.
L. Synge'a и применяя его здесь к контуру у = АВСВ чертежа, где АВ и CI)
взяты очень далеко с одной и с другой стороны тела, получим, что среднее
сопротивление будет дано в виде:
T(Xm-iYJ =
-р j [?]0T(dy+
Т
т
dz>
так как доказательство Synge'a велось с потенциалом а - при движении
относительно тела, то имеем здесь:
<р = <р -j- iVX
и
w = 4- i V= w -I- iV,
ds '
что дает, между прочим, - [ср]?, и Ym будет определено в виде
V
i У-
0
9
9


В
Рис. 28.
w-dz.
(20)
AB+CD 0 Y
Вычислим оба члена в правой части этого равенства. Ясно, что первый член
сводится к
р /
АВ
Но здесь путь интегрирования АВ конечен и 9 на АВ отличается лишь
бесконечно мало от того значения, которое получалось бы от наличия двух
неопределенно простирающихся в обоих направлениях вихревых цепочек внутри
канала. Но рассмотрение двух цепочек внутри канала равносильно
рассмотрению бесчисленного множества параллельных цепочек, полученных уже
известным нам путем последовательных отображений относительно стенок
канала. Так как для единственного вихря 1п в зп величина ср равна
1
то цепочка интенсивности I (например, левая цепочка в канале), вне сет в
выражение [о]^ величину
и совершенно понятно, на основании проведенных выше рассуждений, что
последняя будет равна:
где s = ± 1 в зависимости от того, будет ли точка в находиться справа или
слева от рассматриваемой цепочки. Для правой цепочки в канале,
соответствующей вихрю интенсивности - Jlf соответственно
г I
величина, вносимая в [<р]0 будет - (ек) в зависимости опять

от местонахождения в относительно этой цепочки.
Легко приходим к заключению, что попарно цепочки, находящиеся справа и
слева, дадут нуль для точки в, находящейся на АБ, и остается рассмотреть
только то, что происходит от тех двух цепочек, которые находятся внутри
канала; последние дают нуль вне полосы, образуемой двумя цепочками, и I -
внутри полосы. В результате имеем:
Но на ВС и DA w чисто мнимое, так же как и ds, a ui2 вещественно.
Следовательно:
(21)
Остается вычислить
J'uPds.
т
BC + DA
и мы сможем отбросить это выражение. На CD имеем w = iV и
На АВ имеем:
/•"¦'= / [~'п+ш%+{%)*
АВ и>.
dx =
rs"1 + 2iF[T]^-27№]^4- / (l|)2(^
Но член 2"F[<p] * чисто мнимый, а ['}] Д равно нулю, как это
Г 2~
нами указывалось выше (уравнение 6). Следовательно, остается:
+ Jf
3i jw*ds = m J dx = - ~^, (22)
7
причем Wm совпадает с выражением, полученным первым методом.
Внося результаты (21) и (22) в формулу (20), получаем окончательно:
v __ 2р18
. W
У? V
Если теперь мы предположим, что ширина канала 2^ становится бесконечной,
тогда как расстояние между цепочками 28 - h остается
2Р18 рIh
конечным, то, как видим, -¦ ' принимает вид у- , что и является
первым членом в формуле Кармана. С другой стороны, мы видим, что второй
член - Wm стремится ко второму члену формулы Кармана. Следовательно, в
пределе между двумя формулами будет иметься полное соответствие.
Очевидно, что первый из изложенных методов дает приближение, степень
которого нельзя оценить наперед. Поэтому предпочтительнее результат
второго метода, который мы будем считать более правильным. Мы однако
изложили оба способа, из которых первый приобретает законность благодаря
второму, в случае неограниченной жидкости, но оказывается, напротив,
необоснованным в случае канала конечной ширины. Заметим, что в вычислении
стр. 138, касающемся интеграла от [cc]J вдоль АВ, очень легко заменить
части интеграла, относящиеся в фиктивным вихревым цепочкам, полученным
посредством отображения вне канала, - аналогичными интегралами,
построенными при помощи вихрей
внутри канала, но с заменой пути интегрирования АВ другим, выведенным из
А В путем такого же рода отображения. В этом легко убедиться при помощи
элементарного чертежа. Таким образом, все сводится в рассмотрению двух
вихревых цепочек внутри канала, ведя интеграцию не по АВ, но по
неограниченной горизонтальной прямой, на которой лежит этот отрезок. Мы
приходим тогда к вычислениям стр. 91 и следующих, результат которых
(полученный посредством цепочек, неограниченно идущих в одном
направлении) полностью узаконяет приближение, сделанное на стр. 137
(строка 8 снизу).
ГЛАВА VII
ПРОБЛЕМЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ВИХРЯМ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ, И КОНФОРМНОЕ
ОТОБРАЖЕНИЕ
Общие понятии. Пусть з = х-\-гу плоскость, в которой происходит движение;
предположим, что при этом движении имеются точечноизо-дированные вихри.
Произведем конформное отображение данной фигуры в новую плоскость Z= X-f-
zY, положив:
s = A(Z) [или обратно Z = В(z)]. (I)
Пусть ср и ф потенциал и функция тока в плоскости г, <в определено лишь
вне вихревых точек. Известно, что
f=9-j_i<ji= F(z).
Следовательно, в силу (1) имеем:
? (х, у) + 4 (х, у) = f [A (Z)} = Ф (У, Y) -f- *'Р (X, У).
Движение, которое в плоскости Z соответствует рассматриваемому движению в
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed