Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
интеграла (10). Также можно пренебречь стороной CD, так как вдали от тела
впереди и ж v равны нулю. Остается только рассмотреть А В, и мы видим,
что, таким образом,
А
Wm = j-9lf iv4x\, (11)
в
где w дано выражениями (2) и (3), так как на АВ мы находимся вдали от
тела, позади.
Правая часть (3), очевидно, периодическая функция с периодом 2ш8;
Г •• / (r)s
она 'допускает интегрирование по одной из двух прямых у
лЬ
таким образом, окончательно получим:
2
W"' = p-&iJl / S4x'' (12)
где
Я=с(-? + *' + 8)_С1(^. + *'_8) +
(13)
Все теперь сведено к вычислению эллиптической функции, что и производится
классическими способами. Чтобы не вносить лишних осложнений, будем
оперировать с переменной s' = x'-\-~- и разложим S2
Z
на простые элементы. Полюсы этой функции (двойные) в основном
прямоугольнике с вершинами в точках: -(r)1( <ви в>1 -|~ 2ш3, -a>i -j- 2ш3,
будут иметь аффиксы s' - - 8, 8-(r)х, - 8 - "2, S -[- <оа; обозначив через
h приращение, если исходить из какого-нибудь полюса, находим без труда,
что член второго порядка в четырех случаях будет и что вычеты
равны соответственно 2Р, - 2Р, -f 2Р, - 2Р, где полагаем:
P = !;l(28)-fC8(28)-i^ = ^. (14)
w j 1
Можем, следовательно, напиоать:
Я" = ?(*' +8) +PC*' - 8 + ",)+Р("'4- 8 + (r)а) +
+ Р (У _ s - ш3) + 2Р {С (/ + 8) - с (г1 - 8 + ">,) +
-j- С {s' -)- 8 -}- ш2)-С (s' - 8 - <о3)} -ф- Q, (15)
где Q означает постоянную, значение которой находим, давая гх значение
нуль; эта подстановка дает непосредственно:
( С8 + С,8 + CaS + у -^-)2 =
= P" + P("i + a) + P0", + 8) + P(".+ ") +
+ 2Р [С8 -fV + V + C38-24l] + Q. (16)
Но классическая формула (Tannery и Molk. XI, 3)
a (28) = 2а8 • Oj8 • оа8 • о38
дает после диферепцирования
%, (28) = С8 -)- Со8 С38
и
*Р (25) = fb + р (8 -f ш,) + f (8 + "а)+ f (8 4. <03).
Уравнение (16) нам, следовательно, дает:
Q = 4 {[с (28) _ j"- р(2В) -Р[С (28) - щ] }. (17)
Нам надо вычислить интеграл
2 2^2 Р= у >ш>/ = J S* (/) dz'. (18)
Jj?l_ jWs _ Wl
2 2 2
(,/) есть функция от s', определенная формулой (15), а Р и Q имеют
значепия (14) и (17). Неопределенный интеграл будет очевидно суммой трех
следующих функций:
: - ? (р -f- 8) - С (s' - 8 4" (r)i) - ? (s' 4~ 8 -f- "a) - ч (s' - 8 -
o>s),
a. ¦
о _ о "1 " о (s' -|~ 8) 3 (s' + 8 + m2>
3 a (s' - - 8 - ш3) '
т = Qs'
и, следовательно, отмечая значком 1 определенные интегралы в пре-
(Од Ш, <0о4-Ш.
делах от -±- до 31 ,
~-j- О - jlj
находим сейчас же
J а, = 11 + + 4х - 4ll"- -'Hi.
и так как X н р соиряжеииые мнимые числа, то следует, что
ffioij = - 4%.
Преобразуем теперь |31; введя числа X и р; имеем:
з =_. Г Зх5(р-">,) V
11 - [_ з(Х -"^(р -2<n,) J
= 2P(±:?ilc щ* + *-3шЛ\
\ ар.о1Х /
,, аХ а,Х
Частные -, - - имеют модуль единицу, так как в и р. сопряжен-
OJA *
пые. Следовательно, вещественная часть pt дается формулой = 4Р(Х р -
2о)[) T|j = 41'y|, (28 - о:,).
Наконец имеем, очевидно:
rtiy, = фю,.
Сумма Hi (a, -j- pt -|- ^,) тогда известна и, следовательно, 1К," будет
дано уравнением (12) в виде:
Можно показать (см. наш мемуар в Annales de l'Ecole Normale, 1929), что
если заставить расти неограниченно полупериод ш так, чтобы перейти от
рассмотрения канала к рассмотрению неограниченной жидкости, то
предшествующее выражение стремится к
7 2(0, где h предельная ширина 26 и I предельное значение -~; видим,
%
что это не есть выражение, полученное нами раньше прямым
путем: отсутствует член Однако можно показать, что наша
теперешняя функция тока ф стремится при бесконечном e>j к функции 'Ьц
которая соответствует случаю бесконечной жидкости. Эта разница
объясняется тем, как нами было установлено [свойство (6)], что разность
тождественно равна нулю, тогда как в случае бесконечной жидкости разность
МЧ"00" У') - М- °°> 2/')
Ih "
равна -j-. Мы увидим несколько дальше, что эта аномалия происходит от
того, что примененный нами метод перестает для данного случая
ограниченной жидкости давать достаточное приближение, имевшее место в
случае неограниченной жидкости. Результаты следующего параграфа
принадлежат L. Rosenhead'v, который в цитированном выше мемуаре получил
их существенно отличным методом.
Результаты L. Bosenhead'a. Применим теперь к тому же вопросу метод I. L.
Synge'а, изложенный в главе V. Пусть опять V - скорость тела и V1 -
скорость перемещения вихрей (далеко позади тела, где их расположение
сделалось достаточно правильным).
Относительно осей, связанных с телом (которое мы теперь предположим
неподвижным, предполагая жидкость впереди на больших расстояниях
движущейся со скоростью - V), скорость вихрей будет равна V1 - V;
составляющие скорости жидкости будут: О, - V на
больших расстояниях впереди; ,--------------^---V на больших расстоя-
ниях позади. Заметим в виде проверки, что при этих условиях поступление
(расход) будет одинаковым впереди обтекаемого тела и позади, в силу
свойства (6) функции ф (к, у). Период движения Т будет дан формулой
T(V- Vi)= ^7 Г1")
будет дано соотношением:
