Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 27

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 66 >> Следующая

Но здесь мы уже знаем, что аналитическое решение, например, для функции у
не будет единственным. Ничто, в частности, не изменится, если на
движение, определенное через нашу функцию
мы наложим поступательное перемещение, параллельное Оу, это не нарушит ни
периодичности, ни граничных условий на сохраняющихся твердых стенках.
Присмотримся несколько ближе к тем условиям, которым должна удовлетворять
функция /'(*), чтобы сыграть в нашей задаче ту роль, которую здесь играет
а (г).
Прежде всего необходимо, чтобы f(z) имела точку г = О простым нулем; то
же должно быть для точек, смещенных относительно нуля на 2ml"!,
параллельно Ох (чтобы получить распределение скоростей, параллельных Оу
на двух неподвижных стенках), а также для всех точек, полученных
смещением на 2"с"3 параллельно Оу (чтобы получить расположение вихрей
цепочками, параллельными Оу). Вполне ясно, что тпп означают здесь какие-
угодно целые числа.
Во всякой полученной таким образом точке, f(z - гй) должно представиться
в виде (г - "*) ¦ <р ("¦), где <р (г) аналитическая регулярная функция н
не обращающаяся в нуль в окрестности зк. Отсюда следует, что lg f = g
будет вести себя как lg(" - sh) с точностью до регулярной функции в той
же окрестности; (/ (г) и д" (г), в свою очередь,
будут вести себя как и ------------------Вспоминая классические
г - ек (г - гк)*
свойства функции f (г), мы видим, что сумма
не имея полюсов, будет регулярна во всем параллелограмме периодов и,
следовательно, всюду это будет целая функция Et (г), и мы будем иметь:
причем F(z) является целой функцией.
Попытаемся теперь, насколько это можно сделать, определить целую функцию
Е(.:). Мы увидим, каким условиям она должна удовлетворять в силу
существования двух твердых стенок х= 0, .г - т,.
Для скоростей мы должны иметь:
(22)
где Е (?) новая целая функция. Следовательно:
!, = lg с + /<•(-;)
и
f =o(e)eFlz),
так что получаем:
1 п
"" iV = 444 S 1* ( ' ~ а'~ ~9'+ а* ~гЪ* ~ 2(r)i)i-
1
Мы желаем, чтобы м равнялось нулю при х = 0 и при ж = ш1; следовательно,
необходимо и достаточно, так как произвольны, равно как и % чтобы
разности
.9' ("/ - - *Ь*) - 9' (*?У + ак - А - -"4
И
9' ((r), + *г/-"л-А)-9' (-(r) j 4- *9 4- -'4)
были вещественны. И так как С, входящая в у' дает, например,
- I* О/ - М - "4 - С [* (У - 1>к) 4- "* - 2(r),] =
= - гл - (У - 4) 4- й*] - - I* (у - 4,) 4- й*14- 2т]1 = вещ. числу
(и аналогичное заключение для второй комбинации), то отсюда следует, что
Е должно быть таково, что, если положить:
У - ьк =1 ак = S', ак - m, = S,
то количества
Е (И - Я') - Е 0il -f S' - 2ш,),
E(it. - S) - E(it + S) всегда вещественны, каковы бы ни были вещественные
значения
t, S', S'.
Так как Е целая функция, то всегда можно написать
Е (.?) = е (г) 4 -tV, (,?),
где с и с, две другие целые функции с вещественными ко:>финне ег там и.
Выше записанные условия тогда примут вид:
г (it - *S') + (il - S) - e(it -\-S)- u\ (it -)-*S) = вещ. величине ] e
(it - S') + (it - S') - r (it + S'- 2(я1) - ie, (it + S' - 2(r),) = (24 )
= вещ. величине. j
Но суммы сопряженных комплексных количеств
e(it - S)-lre( - it-S),
ie, (it - S) - *Vj ( - it - S)
являются вещественными; следовательно, первое условие (24) может
записаться:
- е ( - it - S) ~\~ iei ( - il - 8) - с (it -J- S) - iej (it -)- 8) =
= вещ. величине. (25)
Полагая здесь t - О, мы видим, что ото вначит:
"Д --е, (5) = О,
т. е. что е, функция четная; тогда, согласно (25):
е ( - it - 8) -j- е (it8) - вещ. числу = е(е)-\-е( - г),
откуда легко выводим, что е(з), с точностью до вещественной постоянной,
должно быть нечетной функцией от г.
Совершенно ясно (|в силу равенства
постоянная у е или у Е не играет существенной роли и сама но себе
исчезает в ^; можно, следовательно, просто считать е (г) функцией
нечетной, не беря во внимание несущественную постоянную.
Посмотрим теперь, что дает второе из уравнений (24). Так как можно
написать, в силу уже иолученпых результатов,
е (it - S') = - е (S' - it) = е (S' -j- it) -)- вещ. число
j4 (it - S') = "j (S' - it) = i<\ (S' -j- it) -f- вещ. число,
второе условие (24) примет вид:
е (8 -|~ it) iei (S' - j- it) - e (S' -f- it - 2ш,) - iel (S' -)- U -
2u>,) =
= вещ. числу.
Оно обозначает, что мы должны иметь:
Е(л + 2(0,) - Е(X) = вещ. числу, (2С)
каково бы ни было /,.
Полагая /. вещественным, видим, что отсюда получается:
e1(A-f2ifl1) -щ(а) = 0, (27)
но так как е, целая функция, то ото условие будет иметь место при
всяком и, следовательно, (~) должна допускать период
21"!- Тогда будет выполняться условие:
е (л2(r),) - е(7.) = вещ числу,
каково бы пи было а.
что аддитивная
Легко может быть установлено, что разность написанного слева должна быть
вещественной постоянной. В самом деле, е есть делая нечетная функция; это
можно записать в виде:
вещ. числу.
Полагая X чисто мнимым, видим, что необходимо должно быть: е' (2(0^ - с'
(0) = 0, е'" (2ш,) - ет (0) = 0, . . . и, следовательно,
е(Х + 2а>,) - в(Х) = е(2"1)4--^-е"(2(в,)-|- . ..
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed