Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть формула, соответствующая вихрям Бенара в случае неограниченной
жидкости. Изучение устойчивости системы альтернированных вихрей приведено
в прекрасном мемуаре К. Rosenhead'a [The Karman Street of Vortices in a
Channel of finite breath (Phil. Trans, of the Royal Society of London, A
228, p. 275, juin 1929], к которому мы и отсылаем читателя.
Вычисление сопротивления, испытываемого цилиндром, движущимся в канале,
когда позади получаются альтернированные вихри.
Используя выше полученные результаты, мы опять обратимся к изучению
задачи, решенной в главе V, но предполагая теперь, что речь идет о
цилиндре, движущемся в канале ширины e>j и перемещающемся со скоростью V.
Предположим, что установился определенный режим с образованием позади
альтернированных вихрей, так что на больших расстояниях позади
конфигурация вихрей в точности соответствует изученной. Назовем скорость
перемещения вихрей через vQ и сохраним все обозначения предыдущего
параграфа. Мы рассмотрим, что дают для среднего сопротивления,
испытываемого единицей длины цилиндра, тот и другой методы, изложенные
выше в случае неограниченной жидкости.
Первый метод. Согласно предшествующим результатам, комплексная скорость
здесь дается формулой
стенки имеют уравнения х - 0 и х = o>j; это непосредственно даеет: у (и -
*") = С (лг - ai) - С ("• + a) -fг- (" - я + "а) -
¦ ? О(r) (r) ¦
<И,а
"1
Для симметрии возьмем систему осей (Ух'у', у которой ось О'у' ' находится
на равном расстоянии от обеих стенок Д и ДЛ. Положим даалее:
(2)
где 28 расстояние между двумя вихревыми цепочками; элементарный подсчет
приводит к формуле:
2 . . .
-у- w = у- (и - IV) =
= С (/ + 8)+?,'(?+ 8)-
8)8)-
4%8
(•А.
(3)
д!
Рис. 26.
Прямое вычисление, или попросту интеграция этого уравнения поо s' дает
комплексный потенциал:
2гтг
a (s' -f 8)ag (s' + 8) 4т,, 8
I 1 lg о, (s' - 8) а3 (s' - 8)
(^)
формула, в которой очевидно можно пренебречь постоянной интегрирования.
Функция тока ф будет, следовательно, даваться соотношением:
2л ,
¦ уф=*1в
о(/ + 8)аа(У4-8) оДя' - 8)о8(в' - 8)
.М*'.
(5)
Формулы XII из Traite des fonctions elliptiques Tannery и MoDk'a позволят
убедиться, что при всяком у' имеем:
(G)
(По поводу деталей этого вычисления и некоторых последующих отс ы-лаем к
нашему мемуару, помещенному в Annales de TEcole Norma le, 1929, p. 259.)
Положив это, применим теорему количеств движения по оси (Уу' в движении
относительно осей О'х'у', связанных с вихрем нане-котором расстоянии
позади (и перемещающихся, следовательно, с по-
стоянной скоростью "о). Применим названную теорему к жидкости, имеющей
толщину 1 в направлении, нормальном к плоскости фигуры, и содержащейся в
прямоугольнике ABCD (рис. 27). Мы поместим АВ в точности посредине
вертикального расстояния между двумя последовательными вихрями далеко
позади, a CD поместим далеко впереди тела.
Наконец, интегрируем формулу между некоторым моментом т и i-j-T, где Т
представляет время, необходимое, чтобы вихри каждой цепочки сместились в
точности на один ранг, т. е. продвипу-
D
D'
А'
О'
С'
лись на длину
2шя
имеем тогда: 2ш"
T{V-v о)
(7)
в'
через время Т, в силу периодичности, допущенной нами, конфигурация в
целом примет точно тот же вид, что и в начальный момент, с точностью до
поступательного перемещения.
Обозначая Wm среднее значение (в течение периода Т) сопротивления,
испытываемого единицей длины цилиндра, и применяя рассуждение,
аналогичное изложенному в предыдущей главе, приходим к формуле:
разность между количеством движения в ABCD в моменты т и t -(- Т плюс
количество движения, вышедшее за время Т
Х+Т
= + / * J pdas' -TWm. (8)
Li Li X внешн. ЕОНТУР
РИС, 27. Левая часть равна разности количеств дви-
жения, находящихся в прямоугольнике (который считается неподвижным) ABCD
в моменты времени т и т -j- Т, увеличенной на количество движения,
вышедшее из прямоугольника за время Т.
То же расоуждение, что и в главе V, показывает, что разность количеств
движения, находящихся в A BCD в два указанные момента, равна:
PJJ
( щ) dx'dy' :
АВА'В'
-р
АВА'В'
она равна, следовательно, нулю в силу соотношения (6).
С другой стороны, количество движения (на О'г/), выходящее из контура в
единицу времени, напишется (а, р относятся к внешней нормали, a w,V-
относительная скорость):
У" р (и'а -j-"/р) v'ds == р у v' (u'dy1 - v'dx').
Наконец, перманентность относительного движения на больших расстояниях
позволяет определить р из уравнения Бернулли, но это будет приближение,
значение которого не будет определенным a priori. Допуская предварительно
такой способ вычисления, видим, что подсчет, уже проведенный нами в V
главе, приводит к уравнению:
Wm = ^r f (u'v-v'^dx' + iu'v'dy'. (9)
1 A BCD
Если же перейти к абсолютным скоростям и, v по формулам: и' = и, v' =
v -
то немедленно получаем:
"'--т91 <10>
A BCD ABCD
Но на AD и ВС и равно нулю, tc2 вещественно, и J voids' чисто
мнимый. Следовательно, можно пренебречь сторонами AD и ВС при вычислении
