Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
соответствовать, с точностью до поступательного перемещения параллельно
Оу, перманентным конфигурациям вихрей, если предположить осуществленным
сперва расположение вихрей такое, как
в альтернированных вихрях Бенара. Тогда необходимо, чтобы горизонтальная
скорость каждого вихревого центра, была равна нулю. Но для точки (яу, &.)
:>та скорость дается уравнением:
2п
it=;н> i 2 м к f ",¦ -"*+i - ьи) j +
i
-\-E[a} - + - (>,,.) | j,
если указывает, что при суммировании надо отбросить в С член,
соответствующий fc = j (что именно и соответствует отбрасыванию ко-
I, 1 dy
личества • -------, когда г стремится к ^ в выражении ~.
Но легко может &ыть проверено и легко может быть выведено из вычислений,
которые мы встретим дальше для случая альтернированных вихрей, что
остающиеся члены, содержащие функцию С с различными аргументами, дадут
значение нуль горизонтальной скорости вихря Sj. Условие, которому должна
удовлетворять функция Е(г). будет состоять в том, что для всякого
значения ju
11
1
- Е [я,- -f я,,. -- -)- i (bj - 6,.)]} = 0.
Если пренебречь внутри скобок количеством е (2coj), оно сведется к
П
2 h: ! К К - "А + * (bj - bk) I -
- Е [cij -|~ а,. i (bj - !>,.)11 = вещ. числу.
Иначе говоря, ноложив
я, - я,, = s, Яу + ак = /, bj - bk = X, мы должны иметь:
п
2 м я (S -f гХ) - E(t-f гк) - Е (s - гХ) -f Я (/ -- гХ) ) = 0;
1
обозначение E(s - гХ), например, соответствует комплексной величине,
сопряженной Е (.s -*'Х), и, так как 1к произвольны так же, как и s, I, X,
то ото сводится к утверждению, что функция Е(в) такова, что
Е (я --j- яХ) - Е($ •- *Х) - Е (/ -|- гХ) -j- Е (I - гк) 0 (37)
каковы бы ни были значения аргументов (вещественные).
•Заменяя Е через c-Jrir1, замечаем сейчас же, что
Е (s -|- "Х) - Е (s - гХ) = 2г + 2"
E(t-{-il)- Е(1 - г'Х) = 2г J^Xe'(/)
+
"1 (О-
Равенство (37) должно иметь место, каково бы ни было X, откуда следует,
что
е' (s) = е' (/), с'" (s) = е'" (/)
"!(*) = ". (О. ","(") = 6," (О,
каковы бы ни были .s и t-вещественные, а, следовательно, также и
комплексные, откуда заключаем, что е' и с, должны быть постоянными
(вещественными).
Следовательно, мы приходим обязательно к выражению, аналогичному (36), в
котором, как мы уже знаем, можно уничтожить член, содержащий iC
2 п
dl
где Л вещественная постоянная.
Эта постоянная А пока не определена, мы ее легко найдем, точнее определив
изучаемое нами движение. Мы предположим существование условия, весьма
естественного с физической точки зрения: мы потребуем: чтобы скорость
была равна нулю для бесконечного у, когда переходим к пределу, делая d
* (или т)
Оескон ечным.
Легко можно удостовериться, что это условие не может быть выполнено, если
только сохранить Iк. 1 g- а (^ - гк) в выражении комплексного потенциала.
В самом деле скорости заданы (за исключением вихревых центров)
уравнением, взятым из (23) и (22):
и - w
в котором имеем:
w=d~t = L 2! '>(г - +л (38) 1
/*> an^='2tBl-au> Ь "+*=&*•
Наймемся той частью правой стороны равенства, в которой имеем С. Известно
(см. нанр. Levy, Fonctions elliptiqnes, p. 197), что если:
перейти к пределу для бесконечного, то для функции С (>-) имеем
" ТС2 ТС , ТсХ
' (Л) ~* Т7>-о f' "I- "i- 5- •
12m,2 2m, 2m,
Элементарное равенство
, , , sin 2a - i sinh 23
c"(a~Ml) - cos 2a - cosh 2,3
позволяет заменить в предельном случае С (г - в") через
0 sin - (х - а,) - sinh - (у - !>,.)
ТС3 ТС (О, ш,
iw[г' " я* + < (V - j + 557---------*-------------------тс---------•
cosh- (у- ЪЛ - cos - (х- а,)
ш, ч' Л т,
Согласно формуле (38), имеем, что для скорости г в направлении Оу, второй
член дает нуль, когда мы перемещаемся в бесконечность в направлении Оу;
но первый член дает
2 п 1 1
где коэфициент у х уничтожается, так как
2 п
2Л = о.
1
я о где выражение
271
1
не имеет никаких оснований обращаться в пуль; для v будем иметь выражение
1(0.2 'Id Гл
24(0,2 1 1
Так же, что касается и, найдем:
_л_ у
24т,2 ?d 1 1
Но мы можем воспользоваться присутствием добавочного члена А1, чтобы
выбрать значение
Известно (см. Levy, loo. oil.) что в предельном случае имеем:
п, следовательно, в выражении для у взять за такую функцию
По формуле (2!)) мы видим, что ота последняя функция совпадает, с
точностью до постоянной, которая не представляет никакого интереса, с
функцией
что и соответствует указанному пами ранее. Наметим теперь, что если
функцию Е(г), не сводящуюся в пределе к постоянной, то скорости на
бесконечности сделаются отличными от нуля (и вообще бесконечными), если
удаляться в направлении Оу. Это узаконяет иным образом то простое
выражение Ак, которое мы выбрали в качестве Е(к). При атих условиях
комплексный потенциал, соответствующий нашей задаче, будет иметь вид:
Если же мы будем исследовать собственное движение вихря, нам нужно
только, согласно предшествовавшим рассуждениям, образовать функцию
можно, следовательно, выбрать
Это сводится к тому, чтобы взять за олементариуго функцию в выражение
мы прибавим к нашему новому простому алементу в ~ другую целую
