Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
соответствии с начальным расположением два вихря описывают замкнутую
кривую или же будут двигаться по отдельности под влиянием стенок.
Система вихрей в неподвижном прямоугольнике
Пусть
:(), tj = О, Ж=- =(В" У-
?.
2'
стороны прямоугольника и Ah (г,) один из вихрей интенсивности Способом
отображений относительно прямых ¦* -и !/ -77 мы ПРИ"
ведем в соответствие системе S три новых системы S', SS'" посредством
формул:
h>+k - h> аь+к - d - ak, 1>п| Л. == Ьк,
^т+1; == hi' a2H+k ~ ак' b2п+к ~d 1>к,
d3n+k ~ ^к> a3п+к = d ак' Ь3п+к ~d ¦
Покрытие плоскости сеткой прямоугольников, одинаковых с данным, введет
очевидно эллиптические функции периодов 2<ви 2ю8; мьт возьмем функции о
(гг [ а>15 (r)8|), С, f и, одновременно, функции о, С, f, построенные на
периодах:
, 2<Оа "
2(Oj = -, 2(о/ =
Согласно хорошо известным соотношениям однородности (см. Tannery и Molk,
III) имеем: _
о (ig) = i о (г),
г (ig) = - i С (г),
#>(г'г) = --р(я),
Г (гг) = ip (г).
Тогда становится почти очевидным, что можно взять за комплексный
потенциал, соответствующий нашей системе вихрей S, следующую функцию:
in
= О4)
так как все точки гк' дадут для /2 необходимую нам особенность 1 и мы
будем иметь:
4П
d/о 1
и IV = -р- = 7-
аз 2гп
Элементарная формула сложения
г,(а-И) = ОД + ОД , 2 т_т
дает:
J_ уА------------------------------------------------------------rcriL-1
. 1
2" 1 L 2 Р(* - ah) + f{y-K)i
iv==~t=H и <* - **>• <15>
1 P(fl)~P(b)
(16)
1 Позже мы вернемся к этому вопросу.
Группируя четыре вихря, соответствующие S, S', S", S'", непосредственно
находим:
d
и = О ДЛЯ :>¦ = О И .г = - ,
а'
V = О для у = 0 и у = - .
Далее имеем, полагая у2 = с?2 4- г'62:
4п
?2 = -77 2 7" arg ° ~ ^
2тс 1
(П)
Здесь представляет модуль з (z - гХ т. е., в силу классической
Sh = I о (ж - а*) о {у - Ьк) | Ур (ж - аЛ.) + р (у - &*). (18)
Если разыскивать собственную скорость вихря ("Л), то нужно отбросить в у
о количество lg ("- гА). И так как имеем:
lim [lg з (г - ",.) - lg (г - = О,
г-zk
то это сводится к отбрасыванию члена с I, в выражении для у2.
Элементарное вычисление, уже проделанное в аналогичной форме, приведет к
следующим результатам: составим функцию
1^2 = V* ^8 $№ (19)
Л i
где
= 13 К - <h) 0 - 6i) I ("Д--c*,) -f K\ - b/) (20)
и получаем при h-1, 2, ... 4м>,
dak dW3 dbk dWv
k dt dbk ' h dt dak '
Как и выше, нужно остерегаться заменять ап+к, а2п+к, азп+к, Ьп+к, Ь2п+к>
Ъгп±к> т значениями прежде диференцирования. Легко показать, из условия
симметрии, что
da. da.,,da,....da..
т. е., что расположение систем S, S', S", S'" сохраняет симметрию
относительно указанных осей. Таким образом выражение /2 сохранит свое
значение во всякий момент t, если будем рассматривать (ак, Ъ,.) как
функции времени I, удовлетворяющие вышенанисанным диферен-циальным
уравнениям.
Интеграл IP2 = const очевиден для этой системы уравнений. Пример. Случай
единственного вихря. Будем иметь для W2 функцию из шести членов, и
получим без труда:
da I f (26) db I f (2d)
dt 4n p(2a)+JP(26)' dt 4k f>(2a)-Jp (2b)
Умножая на f' (2a) и f' (26) и складывая, будем иметь интеграл f (2a) f
(2b) = const.
Используя соотношения между J? (2a) и f (2a), Ц° (2b) и f (2b), а именно:
P2 (2a) = 4j?s (2a) -g2f (2a) - g3,
P2 (2b) = 4P (2V)-g2f (2b) -\-gv
приходим к одной простой квадратуре.
Легко находим:
I Г da
о -0=J у 4 [С_ р (2а)]У_ д2[С-<р (2а)Г+^ =
__________________________________da_________________________________
V - Ра(2а) + 2б7р(2а)^-12б72^ (2 а)+ 4 С"' Частный случай. Предположим:
тогда вихрь находится в центре прямоугольника; имеем:
da db ____
dt dt
и вихрь, следовательно, неподвижен.
Рассмотрим случай, весьма близкий к этому предельному, т. е. положим:
d d' ,
а - - + в, b = -+ е;
предполагая, что гиг' очень малы сравнительно с d и d', будем иметь
приближенно:
^(2a) + P(2b) = yj(o>1) + p ^j=ei_ea;
затем можно написать:
Г2 (26) = 4 [р (26)+ -•,] [Т+26)+ е,1 |Р(26)+ е"| и, следовательно,
f"(26) = 2 j [р (26) + е2| (р+ ед) + (р + г3) (р+ е.) + (р + +
е,,)\.
Далее, для 2б = -^- + 2е', так как p'|-^-j=o и -es
f"(2b) ~ 2 (е, - р3) (й2 - е3).
Теперь имеем:
f (26) =>'("*- + 2.' 2#; ( ~ 4е' (в4-в.) (ев - +).
Внося :>ти результаты в формулу, дающую -77-, получаем:
¦ • ¦ at
ds [
dt =
- (е2 - Ч) *'¦
Также находим:
откуда следует, что
ds' I
тг =
г = Л COS (X; + -у)
г' ~ В sin QJ + у),
где
I ,/г "fw; гг л Уея-,
' = гг V(ei - еа) ("*2 - "з)>
в Уё
Траектория будет весьма близка к эллиптической. Отсюда можно заключить,
что центральное положение может рассматриваться как устойчивое.
Бесконечные вихревые девочки между двумя параллельными стенками. Вернемся
к нашим обидим уравнениям (14) и последующим и вообразим, что вместо
суммирования от 1 до 4п мы будем суммировать только от 1 до 2"<. Тогда
условия на границах будут
Л
выполняться для ,г = 0 и , т. е. вдоль двух стенок,
параллель-
ных оси Оц, и в силу периодичности эллиптических функций мы будем иметь
конфигурацию, в которой вихри расположатся цепочками, параллельными О;/.
