Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 30

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 66 >> Следующая

Ci.C *
2 п
и комплексная скорость:
и мы будем иметь уравнение движения все время в виде:
dbk _ dW4
. da, 3 И',
" dt ~
db, '
da, '
Составляя эти уравнения, нужно, как это уже указывалось, производить
диференцирования до замены ап+к и 6,1+Л. их выражениями через
"*> V
Приложение. Случай единственного вихря (м = 1). И этом случае можно взять
/, = -/"= Л
и, -а, а., - d - а, |о < а < ^ j , 6, = Ь* = о \\\ сводится здесь к
единственному члену:
I\\ = - - | lg [з (я2 - а,) з (Ь2 - 6,) V f (а2 - а,) + - б,)] -
Jk.

}'
д\\\
36,
ЭИ?4
36,
дает нуль для 62 = 6,; в самом деле:
Л

.г (Ь2_6,)_-
Г сьа-*i)
2 р(я2 - a,) + f"(62- 6,)
Но формуле сложения функции f можно нависать:
з и-;, р
36,
ц-
' ["2 - "1 + * {К - Ml - ' ("2 - "l) •
F(aa - я,) 1 tj,
2 (a2 - я,) -f f (62 - 6,)
]-
(62- 6,) I,
что, ичевидио, обращается в нуль при 62 = 6,. Имеем также
что обращается в
dWj
dai
II

С (2а) 2 а

da db
1Г~~ ' W
2т:
' (2а) - -1 а
Для
d ох, <№
а=Т = -2-' W=°
и вихрь неподвижен. Здесь изучен случай цепочки одинаковых вихрей,
находящихся на расстоянии d' друг от друга. ДлжГ = -]--со
•)
•)
('
d*
1Щз.
z I %
,J4 A3
D'
D
Рис. 24.
D' Df
Рис. 25.
возвращаемся к рассмотренному выше случаю одного вихря. Если отбросить
стенку D' и рассматривать I) и D" (х = 20),) как две стенки, будем иметь
две параллельные цепочки вихрей с вращением в противоположных
направлениях. Это симметричное расположение, но при двух неподвижных
стенках (рис. 24). Мы приходим к конфигурации, уже изученной в главе IV,
но для ограниченной жидкости.
Если предположить, что d = -i- делается бесконечным, то, как
Л
известно (см. например Tannery и Molk, Fonctions elliptiques, формула
CXXII),
т., к2 , к2" . т . , гтгм
•>_ - ______ t,It к-----------I ____ •
тогда, беря в форме (42), видим непосредственно, что
ап; 1*
11П) -г 4 = -
dt 2 т:
etffli 2d) ' 2ш,,
db 1 , . tJl
,lm^ = WCtgl1-^ '
^ h = расстояние между двумя цепочками = а.2 - ах, d' - - j ,
что, с точностью до обозначений, совпадает с известной уже формулой для
системы из двух параллельных цепочек.
Другое, приложение. Возьмем два вихря противоположных направлений в Аг и
j42 (см. рис. 26) и положим:
я, = а |о < а < ^ = 0,
аа = - а
Ь* =
d
2 2 ' а.. = d - a, bs = О,
"4 = 4 + (r)' bi=T;
7i = -/s = -/, = J4 = /.
Далее будем иметь - 2itIF4 = - {lg [с (а2 _ Й1) з (62 _ ^ Ур (а2
^)+|Г(&, - й")] -
_/2 1? [а("з - (r)i) • ¦ .] -
^ У ("4 "l) • • ] -
-Hs И3("з -"2) •• .] -
/2 J8' [=(я" - "") ¦J -
-. /2 lg [з (а4 - ая) .
+-[(й3-Й1)2-(6;1-/ч)в]} +
[("*-a,)s-(bJ-M!,]} + [(as _ _ (/,я _ Ья)а] J _
f(a4 - аа)* - (й4 - 6a)"] J-^ ГК<*'4-*з)*]}-
.7_!l
2от,
О dlVi A ,r dW,
Видим далее, что дает нуль в точке А,. Что касается ~ , то
имеем:
ап
да
-4 = - - ( С (о, - ",) + ------------------------------------------ ^(я,
_ я,) +-
I, 2~ | - 2 f{a,-a1)-]rf{lh - 6,) ш,
. I Г !" " -1 _|____$ ("3 ai)__________ Tll f
1 - las ai) T~ - . jr--------.---------(яз -
J"(as- (63 - 6,) m,
- С (a4 - a,) - -------------------(^~ai)--------4. (a a )),
2 р(в1 -Bl)+p (6,-6,) 1 m, l,j
то есть:
= _ I2 f r (ffl] __ 2a) 4- J_ ГК - 20) Tjj_ (Bi _ 2a) ^
9a, 2tu j 2 jj3(u>, - 2a)-f-jjf> (ш,) со,
-К Ox - 2a)------------- (2m, - 2 a) -r, (ax,) -j-- (r), |,
°>i °>i J
так как J3 (ax,) = 0, a f (0) = со.
Положим:
¦i
и применим формулу
(r)i "
у - я = о, 2я = ш, - 2о,
Г К+ 28) = 7!,+ г (28)+ г(25)
2 [Р(28) - е,] будем иметь
Р
дУ* = _ i! (or (Го) 4- - ЛЛЛ I I У_ О) __ tv I
3", 2* 2 Р(28) -еа Г 2 &>(28) - в, * )
и, следовательно, движение вихря А1 будет дано в виде
Р
Л 0, * = 1 (1ср) -Г".-] = (28)4- С3 (28) _ lZ!i! (43)
at at 'In ' a>j
где 4(28) = 428) -f 1 * ^ ' -
2 fc3(28) -r, > n •••
Отсюда непосредственно приходим к заключению, что конфигурация
альтернированных вихрей будет неограниченно сохраняться во времени,
находясь в поступательном равномерном движении параллельно Оу.
Наставляя неограниченно возрастать d или со,, но таким образом, чтобы 8
оставалось конечным, приходим к результатам относительно двух цепочек
альтернированных вихрей Венара-
Кармана. Действительно, в этом случае 04 становится бесконечным; должны
быть применены формулы Tannery и Molk'a (СХХИ), именно:
1 г 4 \ sinli т-we - ++ ,
, = (, -4) +/+-Z^
V"1 -"3*
__ у---- / __ KW cosh T.w\ ( 1;.0 \
1-1 °:!\ 3 *" sinli тло / \ 4 /'
^-^-Ч'ЧНт+ааЫ*
- "(r)з V е, - е3 = у |1 + -- + • . • ]
Ъ0 очепъ мало, и в пределе имеем:
ги
,,;==2Уа'
2(r)ч . , IKU -д-;
он = а si nli ~ е м uv
гг.
2<о,
г~и . , , гтм
¦ т. f- ctgli -
i) 0)g z(Og
T^u
4co8'-
1
sinb2
, Oj" = el'
nsM3
, 'tnu
, о"и =rr= cosh---- ei4M* 2o>.,
Выражение P запишется:
:(2S -|-ra.,) -:(23)- t1;(.
Но мы имеем:
y jyjyS) _
2 V(28) - <'3 Следовательно:
/¦= (23 I- ">,) -1 ; (23 + <*,) 4, - *13 ~ 4:il-
= 4 (28) + Ca(28) -4-5> 3.
При % - "Bj, стремящемся к бесконечности, имеем:
С другой стороны,
откуда окончательно:
и, следовательно,
- I, в этом предельном случае
где h есть расстояние между двумя альтернированными цепочками.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed