Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
симметрии скорости параллельны стенкам во всякой точке 2), и Ь2; имеем:
2 П
_ iv = h ctg JL (, _ *,), (3)
i
Рис. 21.
откуда непосредственно скорость в точке е:
В выражении для и соединим попарно члены с 1к и мы
видим, что они взаимно уничтожаются и что имеем и = 0 при х - О.
d
Аналогичное же получаем для Потенциал скоростей и функ-
и
ция тока ^ тогда определятся, согласно предшествующему, так:
^ 2 П 2 П
1 1
= |/ sin2 - J (* - ";,) + sinh2 -¦ (у - Ък), (5)
tgh-j(y - Ък)
где
*?'* = ¦
tg-j (*-"*)
Известно, что для того, чтобы получить скорость перемещения
вихря 1к, надо исходить из комплексной скорости , вычитая из
аз
нее член , что приводит к отбрасыванию в ул слагаемого
соответствующего самому рассматриваемому вихрю, так как d
lim ,
г=г, dz
lg sin ~d ^ ~ e*> ~lg ^ ~
- 0.
Таким образом, не только сам вихрь ек, но и все вихри горизонталь-ной
цепочки, им порождаемой, не имеют никакого влияния на собственную
скорость вихря зк. Это соответствует результату, уже отмеченному в
предшествующем параграфе.
Можно получить для этой собственной скорости формулы, совершенно подобные
формулам Гельмгольца, известным нам еще из главы III. Определим функцию
Wk уравнением
iri = -(6)
где суммирование распространено на все пары вихрей системы (S -j- S'), а
всякая пара считается только один раз. Имеем, кроме того:
тогда уравнения движения для 1к будут:
dak _ dWt , dbk dW, 0 л
Лк dt ~ дЪк ' 3аК * 2)"-' ~П) U}
Существенно заметить, что в И', надо сохранить (ап+к, 3i+i). а не
выражать их через (аА, bk) до выполнения диференцирований. Эти уравнения
(I) содержат, следовательно, 4п независимых переменных (ak, йп+к.
bn+k). По определению Wt имеем:
d\Vl _ dWy dWy _ , 31 Vy
dak dan+k ' dK dK+k
(")
как легко заметить, группируя члены, соответствующие fk, /г и I и ,гк,
Отсюда и из уравнений (I) следует:
dak dan+k dbk dbn+k
dt ~ dt dt dt ' 1}
что может показаться очевидным в силу симметрии. Достаточно,
следовательно, знать только движение системы S.
Формулы (9) означают, что расположение остается симметричным, как это
вытекает из уравнений (I) во все время движения, и уравнение (2) для /л
все время будет сохранять свою значимость, если только брать за ("А, Ьк)
решения (I), полученные интегрированием.
Согласно (6) и (7), очевидно, что
2п
да, ^ дЬк
1 - О,
что является, кроме того, результатом общих известных теорем. Далее, в
силу (8):
тогда как вообще
? дК Ь дЬа+к ( >
^ dWy _ v dw\
т дак 1
Движение центра тяжести. Предположим, что
1
Пусть тогда, как обычно, (а0, Ь0) центр тяжести системы вихрей S, так что
п 11 п п
а0 2 Iji =2 ак^к> &Q 2 Д 2 >
11 It
и пусть (%', V) центр тяжести системы S'. Будем иметь, очевидно: ао = d -
ао> Ь0' = 60, и уравнения (10) покажут, что
dctn d(tn dibr, . , ^ ,
-зг=тг=0' -fr-st 01)
Частный случай. Предположим
П
24=0.
1
Тогда центр тяжести не может быть па конечном расстоянии, а вместо
уравнений (11) будем иметь
iX4=const. 2 "n+Jn+k=const> (!2)
Замечание. Всегда будут иметь место общие теоремы относительно моментов
инерции фиктивных масс 1к и моментов количеств движения. Но S и S' туда
войдут одновременно, так что результат вычисления не будет здесь
представлять большого интереса.
Имеем также очевидный интеграл
Wt - const, (13)
так как
ом
dW, _ у SWг dau 9W1 dbH
dt дан dt ' дЪк dt
Пример. Случай единственного вихря I. Здесь
й] = я, я2 = d- а, Ъ1 = Ъ2 = 0 |о < а <
Имеем здесь для комплексного потенциала и для функции W:
["j и "2 при вычислении являются двумя независимыми переменными; не
следует заменять а2 через d - а прежде диференци-рований]. Находим,
далее:
da db I . 2на
~dt~ ' - 2d S~d~'
d
Для a = -j- вихрь неподвижен; мы приходим в этом случае к горизонтальной
регулярной цепочке (с одинаковым расстоянием между вихрями d), изученной
в главе IV. Для О < а < - имеем ~ < 0; для
4 cat
d ^ . d db _ . "а
-г < я < - имеем > 0. Для больших значении -г- влияние сте-
4 л at d
a db 1
нок велико, для -т- малых имеет почти -тг =---, как и в случае
d dt 4 тса
неограниченной жидкости без стенок. Получаем конфигурацию, тождественную
с предшествующей, отбрасывая стенку х = ~ и рассматри-
Z
вая два вихря противоположных знаков между стенками х = О, x =
d.
Второй пример. Два равных вихря, расположенных
симметрично. Положим:
/, = /2 = /; /8=/,= -/,
d I ? d t г. ,
ах а2 - ^ - *>з - ^
3d " 3d
т
"3-----------1 аА------ А ^2---- bA------------
o<iei<4
Очевидный подсчет дает:
Рассмотрим только два предельных случая. Предположим сперва
d
и-^- весьма малыми: тогда, пренебрегая величинами третьего порядка,
имеем:
1 Tj dt\ I I
откуда
dt
dl
4к ' dl 4ft ?2-f f '
О COS (X/ f), T) = p0sin (X/ + Tf), =
2oi'
'J^zn*k А3п*к1>
Ak А п.к
V С*
Рис. 23.
два вихря равномерно вращаются по одпои и той же окружности, как будто
вовсе нет твердых стенок.
Предположим еще, что - - t = е очень ма ло, a rj велико. Тогда
4-
da d-q I ( а \ "
~di-" ~di ~ 777 I как 11 выше ПРИ малом I. В этом примере в
