Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
(см. Гурса, Курс математического анализа, т. И):
¦н-т-2(пЬ-т)- (2>
г<?)
где у означает постоянную Эйлера. Можно тогда написать:
2(i-x
к , п I г - к г - к
I 1 \ I
Г
г (?i*\
и так как уравнению (1) можно придать вид:
2 iid ... I I
-j- (и - го) =
г- к г-ф-Х
СО
+ 2[fEEr:""_(?+!T
п
I I , •- г 1 И
то заключаем непосредственно, что 2inl
(м - iv)
Г'(^)
Эта формула в дальнейшем будет нами использована.
Новое применение теоремы количеств движения. Рассмотрим теперь нага
цилиндр, для которого О есть контур пересечения цилиндра плоскостью хОу.
Вообразим себе явления таким образом, что цилиндр неподвижен, а скорость
жидкости равна V на бесконечности вверх по течению. Пусть Ох и Оу
неподвижные прямоугольные оси, из которых первая параллельна - V,
начертим кривую С', на большом расстоянии от С и не проходящую ни через
один вихрь; на О' движение будет безвихревое. Мы будем предполагать
вполне ясным, что позади установился режим альтернированных вихрей,
сделавшийся вполне правильным и соответствующим много раз уже описанной
схеме в области, где проходит С'. Рассмотрим количество движения
жидкости, содержащейся в момент t в пространстве, заключенном между С и
С', и рассмотрим эту движущуюся жидкую массу, принимая во внимание также
движение жидких молекул на границе С'. Это количество движения имеет
проекциями
J J" рмйз, j" j pwfa;
и в t обозначает составляющие скорости относительно твердого тела, а
интегралы распространяются на площадь между С и С'. Называя -X, -Y
составляющие сопротивления, испытываемого цилиндром (на единицу длины в
направлении его образующих), видим, что единственными внешними силами,
действующими на рассматриваемую массу, являются: сопротивление, но с
измененным знаком и, с другой стороны, давление, происходящее от наличия
жидкости вне С'. Следовательно, можно написать:
А
dt
II puda = X - I**"- Til I pvda = У -j- J pdx,
или иначе
J f P(M - *(r)0 (H = X - iY-j p{dy-{-idx).
Но обозначая через (я, Р) направляющие косинусы внешней нормали / dy
dx\ d
К Vis' dsI ' видим' чт0 полная производная ---
запишется:
d
dt
J J I1 0* - JP ~ **•') H~ JP (au 'I" P1') ds,
d
уравнение, в котором представляет производную, взятую в предположении,
что контур С' неподвижен.
Но на С' имеем классическое уравнение
1 , 9 , , 9(r)
Р = -ТР("9 + ^)-
где у есть потенциал скоростей. Отсюда заключаем, что
X - г У = р J" (и2 -)- гХ) (dy -j- idx) -j- р J" (м - iv) (otw -j- pr) ds
-j-
C" O'
+ J p(u-iv)ds - p j ^(dy~{-idx)
c
или, полагая по обыкновению:
g = x-\-iy, x =
X
С-гУ = ^-1 Jp (u-iv) do-fP ??-&!/ +id*)-L Jp^Yds.
C" 6"
Предположим теперь, что установился периодический режим, т. е. явление
полностью воспроизводится по истечении времени Т, и каждый из вихрей
альтернированных цепочек перемещается точно на один ранг. Интегрируем
предшествующую формулу по времени от t = О до I = 7'; предположение о
периодичности уничтожит первый член справа, и, обозначая через Хт и У,"
средние значения X и У, получаем:
Т
Т (Хш - iYm)~ р | WTQ(dy-\-idx)-\ j | J
m л ' r>r
w2ds 1 dt. (4)
Мы будем отыскивать значение Xm и Ym, предполагая в этой формуле, что
кривая С' удаляется па бесконечность по всем направлениям. Например, мы
возьмем за С' концентрические квадраты (с центром в начале), стороны
которых возрастают на 21, когда переходят от одного квадрата к
следующему.
Пусть С0' один ив таких квадратов, который мы будем рассматривать как
неподвижный, но сторона которого выбрана достаточно большой, так что
конфигурация вихрей правильна и соответствует альтернированному
расположению позади С0'. Когда переходят от квадрата С' к следующему,
число вихрей внутри С' возрастает на две единицы.
Пусть 2N число вихрей, р асположенных в момент 1, между С0' и С'.
Обозначим через вр в2, ... , г N, ... аффиксы вихрей верхней цепочки,
нумерованные справа налево, а через в', г,','..., я ', ... то же для
нижней цепочки; соответствующие интенсивности -\-1 ж -I.
С'
ц г
Рис. 19.
Мы начнем, прежде чем производить вычисление, с рассмотрения, как ведут
себя w и ср для больших значений \г\.
Заметим прежде всего, что разность
которую мы запишем в виде:
СО
F (a) = w------I- V -^-; (Г = ± I;
v ' 2 ;ис з - в" ' v p
l p
Bp Z2, . . . , . . . , Z[ , B% . . . ), (5)
представляет функцию,всегда аналитическую вне квадрата С0'. Как легко
видим, это следует из формул (1), (2) и (3) и классических свойств
функции Г\ ряд, стоящий в правой части, стремится к нулю, когда в
стремится к бесконечности в направлении, отличном от направления оси ж-ов
(в отрицательную сторону). Для в равного бесконечности F (в), как
и w, должно равняться -V, и будем иметь, следовательно, в окрестности
бесконечно удаленной точки:
Пе):=_К + ^-+-"|+...
Уравнение (5) позволяет утверждать, что
j* ivde - j Ь (г) de = 2 iTtal - К,
с0 с0
где К обозначает циркуляцию вдоль квадрата С0. Это дает нам вначе-ние
коэфициента а,, и можно написать:
... + у | 1 V 1" I к I fa , п(1\ f6'l
