Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 16

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 66 >> Следующая

начиная с положительного значения (------------|, убывает, а затем
2 \ я У 2/
растет до окончательного значения, равного нулю, которое она принимает
при п-ап\ д', следовательно, обращается в нуль, один раз между 0 и "гг;
она сперва положительна, потом отрицательна; следовательно, д растет,
потом убывает, начальные и конечные значения д нули, д остается всегда
положительным.
Изучаемая конфигурация системы вихрей должна, следовательно,
рассматриваться как устойчивая.
Симметричная система. Нашим исходным моментом опять будет формула (А),
дающая скорость вихря г0:
"о - *0 = ir {""' [ ctg -f (* - So) - ~ ct <Aj (* - V)
т. e.
оо ч \ "b 00 1
!-+-!-)-S - ¦
I *d\e0 - Bk - ek
Веря уравнение в вариациях, получаем: 2т: / drt l [dl
+
ho . #0 \ v[4 - Ц,- . Йг-А
11 -i- 1-<и)~ Zi (*0-*_")*
+
во
sk - go + ~t' - -o' = "o '7' +
коэфкциентом при -is0 будет:
¦4- ОС'
ILy JL + v I____________________________
I* Id № T jid (W - ih)2 '
1 - oo
Но из уравнения
1^1 Г i-Zj 4 $.-|A Л>
Ж " ^ 4> - /,-тс)8 ? Ъгд Ъ *ЗМ ~
Рис. 14.
следует, что
4- ЭО
1 1
sin* шк Zj ** ("* -и)4
' - I
следовательно, коэфициент при о.г0 б\дет равен:
--S-++' 1
** V* 1 ы**.
Выражая затеи
1 7(4" -Л*-4-2Л7Л
('о-О* " (*4"+W)* '
приходим сейчас же и двум уравнениям:
2тс d{0 z* (\ | 1 ^ ( 1 v т1Й4-т,_
i df 7* \ 3 "г *к ) Р ^ Л* smh(r) -у ' 1
у , , _ 21к V __*V_
Zl fh9H_L ЬЪ\* ^ *и АЛ (Ъ'П2 I 7.ЭЧ2 *
(Ш-г -f А")* "¦ (Л?а/а + /,а)
*8 /1 , 1 \ , 1 V S*+U
) Ео + -
J dt I* V я " . ln it/i J 90-Г /" ^ /.*
4 smlia -у -7 1
V
у ..да-*" ¦> | nffiy *ч/
^ (А-42 -4- ДЯ)а '* ' Id (А*/4 + Л'-)* '
- со - со
Имеем также вполне аналогичные уравнения для ;/, •+. Положим, как и выше:
\к = j/"to <и + **>, j,/ = J/V'" (и + **'>,
7) = Шг*°(u + , Y],:' = 1Дт/е(tm)(W + т*');
сокращаем множитель е"" + 'т"); с\ мму
+ " 7 t /
V
^ а--', а Л")4г
- оо
можно написать так: что вводит
^ (A4'/'2 -f й(r)ф
у 2"А sin шА-i (p/aipp]5
iL |2 *
к'Ч* - А9 , ,
:?мма 1 (W+T^jSдает
-Lp '_l у J^LriLrt' _i.v ,
1,2 41 П (№ _(_ й8)9 '•'* 1 '
водит выражение:
JAoA =
1 , ,V А2^ - да
Л9 'г " 1 (А9/9 + А9)9 004 '
приходим к двум следующим
№ в
уравнениям:
IS
А9"
1 \ у | 2 Л' cos шА/
". , , Т.к ' "Г I9-А(r) snill--Т- ' 1
V,/ 1 , "V -W 7 Л
'л Г А(r) + 2 т! ЩГГЩ1 (tm) м) -
.411, \rV.^^L ¦ . и (А(r)/9 4- А(r))(r) '
п9 / 1
1
\ . , , 2J/ \Л UOSwA/
7гит ) г~*.....................
(¦ " i" + - X (РРГГР^ ",s "Ы) -
Положив, как было раньше:
2тгш/.
i
2 у с№
В ^' №
(10)
Л! h sill ffiikl
будем иметь два уравнения:
а.М ; (Z ' - С) Л' + IV21' + А'Х' = О,
(./" - С) М - a.V-f А'М ' В'Х' = О,
к которым присоединятся еще два подобных уравнения, соответствующих вихрю
Эти два уравнения запишутся так:
В'21 - Л'Х-{- 0.21' - {В' - С) X' = О,
А'М - FX+ (F - (Г) М' + аХ' = 0.
Образованная таким образом система идентична системе (5'), где лишь А, В,
В заменены через Л'. В', В'. Пначит, условпем устойчивости будет
[уравнение (б)]:
(2U)
г.2 . (дг - ¦ (П ly1
'' 2В '
следовательно.
тг3 (ж -ш/)2 тс2 1
остается вычислить А'.
Для этого исходим из формулы (Я):
имеющей вначеиие при -л < х < тт. оаменим х на е- г; для О < X < 2- будем
иметь:
- cosh wi С~ -х) _ 1 | мсояа; , ш cos 2х ( Л)1Л
2 зТпЬме 2м" ' 1 * "I(r) 2(r) + "((r) ' ' ' '
Днференцируя это уравнение по м, получаем:
-Д-(к - х) sinh ш (тс - х)
2 тг(r) cosh мтг
cosh м (- - х) =
sinh me 2 sinh2 me
cos г . eos 2x
---------------2 м.8
2m'1
(12-f-m8)8 1 (28-j-"t8)8
e cosh м (e - r) 1
2m sinh me 2w"2 '
Полагая x = coi, м - , имеем:
e (e - x) sinh м (n - x) e9 cosh me cosh m (e - x)
2 sinh wie 2 sinh8 me
e oosii м (e - r) . 1 .iia/aV cos шА/
¦ i ,, vi cos <S>Kl
Y //.sia I №2 ¦ (-°)
2m sinh me 1 m3 ^ ¦-J (k'43 - j- A8)8
... vi cos <o/W , .
dia формула позволяет узнать фяр.'ищг > тогда как (--) дае1' нам:
cos в>М 1 е cosli м (г - х)
^ АЧ2 -|-А9 2 A8 2Ai sinh me
•Запишем теперь А' в форме
(/ 1 , .7 V 4-Аа - 2Л" _ " 1 ,
(кЧ- f А8)8 С " " "" А2 +
eostoW 1|0\а cosakl
(24)
J_p У \h:i V
' '-/,2
кЧ3-г№ ^j(M84-A2)"
и внесем сюда значения обеих 2> взятых из уравнения (23) и (24), получаем
окончательно:
^_ е (е - х) sinh м (е - х) е8 cosh тп cosh т (е - х)
I3 sinh me Р sinh8 же '
и неравенство для определения устойчивости примет вид: j т. (- - х) sinh
m (it - х) -2 cosh mitcosh ш (г. - х)
sinh нгтс
(it - *)"
sinh2 wii:
sinh2m-
Оно должно иметь место дли 0 < л < '2it. Положим:
Неравенство напишется:
it* cosh wit cosh и sinh и sinh шt
m
in (r. - x) - и sinh2
(- in it <; и < wit).
. sinh2 mi: / " 'f2 \
>---------9 \ m? J "I- •
5)
Достаточно рассмотреть интервал О < и < тт., так как о двух сторон стоят
четные функции. Непосредственно видим, что при и = 0 неравенство сводится
к
. . sinh2 "гг
oosli mu ;> ----|-1,
пли иначе
(cosh wit - I)2 О,
что никогда не выполняется; строго говоря, кроме h - О, когда задача
перестает существовать. Следовательно, симметричная конфигурация должна
рассматриваться как неустойчивая. Присмотримся ближе к неравенству (25) с
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed