Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
каково бы ни было значение а\1, т. е. <о. Достаточно впрочем в виду
формул (5) заниматься значениями* <oZ, заключенными между О и 2тс. Если
же сделать а>1 = тс, замечаем, что А обращается в нуль. Отсюда
необходимое условие, чтобы и Р-С тоже обращалось в нуль при <"i==Tc.
Соответствующее же значение С будет;
Gi=! (-1~ w• ¦ ¦)
11 тс8
йввестно, что -. Простое сложение дает
тс8 ,liG1 6 2
2(^ + 'Р'+Ж+***)ж
==f(1+^+^+---)==T2 '
Следовательно, С, >
6 Р
т. е.
Условие Р-Cj = о дает
/ 1 1 \ ТС2
~W \ >7 Гзд J = ~ cF '
' cosh -j-'
_ ТСД , Г- ll
cos h у = У 2, - = 0,280.
Альтернированная конфигурация не будет, значит, теоретически устой-
ft
чивои, если только отношение у не имеет этого частного
значения.
Но теперь нужно посмотреть, не будет ли условие (G) выполнено
для всех значений соI. Для этой цели займемся дальше подсчетом количеств
А и С.
Вычисление Си А. Элементарное разложение в тригонометрический ряд дает
нам для - тс < х < тс
тс2 х2 уч (-1)" -'cosjw;_________cosa; C0s2a; , oos8r
T2 Г~~ 2и "а Та §2" т 32~ • • '
1
Заменяя х на тс-х, имеем, следовательно, для 0 < х < 2-
тс2 (к - х)2 cos х cos 2а; cos Зх
Та 4 ~ р Да зз~'
и, следовательно, как мы уже видели выше:
(тс Oil)2 ТС1
С- 2 12
12
(7)
Для вычисления А, что является несколько более сложным, мы будем исходить
из равенства, полученного разложением cosh mx в тригонометрический ряд па
интервале - тс < х < тс
тс cosh mx 1 m cos x . m cos 2x m cos 3a: ^
2 sinh ттс 2m l2 -\~ от2 ' 22 -f- m2 32-|-m2 ^
(см. напр.: Уиттекер и Батсон, Современный анализ, пример 9 в конце
х
главы 9). Заменив х на тс -, мы будем иметь, в данном случае,
Заменяя в (8) х через -, получаем (при -< х < 2т:):
cosh -
1
т cos -
т cos х
т cos ¦
Ах
2 sinli датс 2т I2 -|- т2 22 -"г2 32-j-m2
Вычитая (10) из (9), будем иметь при 0 < х < 2тс:
+
(10)
тс - ) - cosh да - т cos - т cos -
2 / 2 2 2
4
пли еще:
sinh да тс
12 +
юг*
Я2 -|- юг2
. , / тг m# \
я 81 \ W ~2~------------------------------------2 ) _
юг COS ¦
cosh -
12 + Ю*2
юг cos.
3d*
32 -j- w:
+-.O0')
т. e., меняя несколько обозначения;
... . a cos -
тс smli а (тс - x) 2
a cos-
3a.'
cosh атс
иродиференцировав теперь по a, получаем:
тс (тс - х) cosh а (тс - х) тс2 sinli атс
2 cosh2 атс
2 cosh атс
тс sinli а (тс - ж) 2 й cosh атс
sinli а (тс - х) =
- 2а2
cos
а2 +
(т)
! !
COS
Ах
+
а2-]-
(1У
(Уравнение (13), продиференцированное по х, дало бы нам возможность
вычислить В, но мы не будем проводить ото вычисление, ограничившись
только этим указанием).
Из (13) мы получаем непосредственно выражение для суммы
+я2
тогда как (12) дает нам
^hcos(*-И
(л-i) +"a
заметив это, рассмотрим вычисляемое выражение А; можно написать:
¦ 2ft2
А = 2
V, (*-т)I, п.
2j г?,- г\2: . ;"i2"cqs" ( т)
или
>4 as* 2
положив
имеем:
2 COS ?0 ^ /, 1
(*"т)
COS <0
1-------------4/1Я у -------1----и___
(ft-^yWft2 ' [(ft-y)Wft2
: а, ш/ ¦" ж (0 < mZ < 2тс),
И
COS (ft X
4ft2
~W
Используя (12) и (13) и производя некоторые элементарные приведения,
находим:
I2 cosh2 "тс
[тс cosh ах - х cosh атс cosh а (тс - .<))
Условие устойчивости (6) превратится тогда, так как Р- С*
(тг О')2 тг2
=-------------- , согласно (7), ибо Р = -:П - ,
в
21- Ы2
cosli ах т.х
cosh2 атс cosh атс
cosh а (тс - ./¦)
(тс -.г)2
(И)
неравенство, рассматриваемое при х (= а>1), заключенном между О и 2я.
Так как - = а и cosh-^- = 1+ 2 , то имеем здесь:
cosh атс = +2, sinli атс =1.
Положим, с другой стороны, а (тс - х) = ", так что переменная " должна
меняться между -атс и -|-атс. Количество, модуль которого фигурирует в
левой части неравенства (14), тогда запишется:
ТС2 ТС!'
,г = - cosh ах ^ cosh а (тс - х),
2 1/2
или
(+2 cosh к - sinli w) (тс - I cosh н
2 V 2 \ a !
или, наконец,
V
Цп
2 V a
- cosh" - sinli и
1/2
(16)
(16j
Эта функция от и и е ч е т н а, и достаточно изучить ее для О < и < атс и
посмотреть, соблюдается ли в этом интервале неравенство
1,2
? ^ 2а2
Это легко проверить; имеем:
dz it I 1 , , a sinli и тс
~VrA а
dn
, и sinli и тс , \
cosh II -|------------------------yyj cosll 11 I
Y 2 \ a 1 a Y
- tih nj. a \ a V 2/ J
=== --- siiih a
Y 2
1
Убеждаемся далее (так как я = 0,28...), что---------------положительно:
а у 2
dz
~д-~ всегда, следовательно, положительно в рассматриваемом интервале; s,
значит, возрастает от нуля до значения (при и = атс)
Тс / , Л- тс \ тс2
При этом ? остается положительным, и наше неравенство будет:
, - cosh и -¦ siiih ^ -- .
У 2 \ а У 2 ) 2Ф
Оно очевидно превращается в равенство на концах интервала х = О, art.
Положив
, , Wf , 1Га . , "(r)
д (") = -- cosh и smh и ¦
инеем:
я, У 2 2 2я(r)
д' - -2_ (н sinli и cosh ?/)--- cosh и -,
J а У1 2 я*
" (У 2 т. \ , -и cosh н 1
"" = к ~-------- smh " -А---т=------.
\ в 2 / а У 2 я*
Коэфициент ---------~ очевидно положителен, следовательно, д" возра-
1
стает; начальное ее значение ¦----, ее значение для w = ап поло-
а'
жительно; следовательно, д" имеет корень и притом один; значит д',
