Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
(Comptes rendus de FAcademie des Sciences, Juin 1929), позволяет уточнить
все желаемые детали.
Метод 1. Delsarte'a.. 1 Пусть (А) и (В) будут обозначать соответственно
внутреннее и внешнее для сосуда пространство (поверхность сосуда "S').
Определим скорости ", г, tv выражениями вида:
а Р* Q2 и Ва потенциалы простого слоя, распространенные на А. Внутри (А)
формулы (8) должны нам давать скорость жидкости; в (/>), которую мы
представим занятой покоящейся жидкостью, мы будем принимать для скоростей
значение, равное везде нулю.
Если мы обозначим через М1 и М2 расхождения векторов I\, Qv Вл и 1\, ()2,
В2, мы заметим прежде всего, что Ы2 должно быть постоянным в (А) и в (В),
причем значения этих двух постоянных могут быть различны.
В самом деле, рассмотрим в первую очередь, что происходит в (А). Мы
должны иметь:
tty. -|~ ?,'|3 №[ = О
дВ
и = -7Г-
(8)
где
и
(9)
0, die дг
1 I. Delsarte был любезен проредактировать лично текст настоящего
параграфа, чтобы тем дополнить наше изложение.
но слагаемые, происходящие от Р" Qt, Лл в выражениях и, г, w обеспечивают
эти равенства. Мы должны иметь, следовательно, соотношение:
n =__________________________________________________д_(дР* _9АА _
ду \ дх ду ) ds \ дг дх J
_ дМ2 _ _ ЭЖа
дх 9 да
и аналогичные. i?2 следовательно, постоянно в (А).
Рассмотрим теперь, что делается в (В); и, v, w там равны нулю, и можно
написать:
р I р______
+ дх ' •••
Но Рх, Р2... гармонические функции, следовательно:
9Д? _ 9Д?_ 9Д?
Э,г ду дг
и АУ постоянно в (В). Мы имеем:
ЛГ% = Ш,
так как Мл, как мы видели выше, везде равно нулю. Следовательно, J/"
постоянно в (В). Выпшпем теперь напт потенциалы простых слоев:
S S S
и вычислим Ж2. Находим непосредственно, помещаясь в (Л) или (В), но вне
В:
S
где "и 3,, ij обозначают направляющие косинусы полупрямой ММ',
соединяющей точку М, где вычисляется Ж2, с переменной точкой М' на
поверхности S. Но на S расхождение Ж8 разрывно и мы без труда видим, что
его предел, если итти снаружи, равен
1 ГГ Z'a, 4-""'?! +"' у, 1
I * J J ra - у (*1 + ?'" + Г")>
g
аутри, то
1 Г Г -4- w'Bt -4~ w'fi j г . 1 л j I h I ¦. _ j j _П,ГГ U_ Да' -j- _
(aZ 4. p.", 4. pt).
Так как эти два предела постоянны, то постоянна н их разность.
Следовательно, количество
р = <xl -f- pm -|- у"
постоянно на S. Я утверждаю, что можно предположить р равным нулю. В
самом деле, напишем:
I = I -ф- ар, т = т -(- Рр, и - и -ф- ур при _
7 I -)- Р" + у м = О
S 8
Количества
04
dU dV
являются составляющими с измененным знаком -, щ,
- - притяжения однородной массы плотности расположенной оз 4я
внутри (Я); соответственно потенциал будет равен:
v-kfjf?-
А
Но прибавление к Ра, Q3, йа частных производных некоторой функции U,
удовлетворяющей уравнению
Д J7= const
в (Я) и в (В) не меняет значений и, v, w и только прибавляет постоянные в
значениям ilfa в (А) и в (В). Мы сможем, следовательно, предположить:
al -)- Pm -j- у" = 0.
При этих условиях функция iV/g, гармоническая ъ А и в Б, становится
непревывной при переходе через S и оказывается постоянной во всем
пространстве.
Мы теперь в состоянии построить решение поставленной задачи. Заметим
прежде всего, что функции
ад. sq1
ду дг ---------
а также функции
дРа 9 Q3
ду дг
гармонические в (В), и их значения должны быть противоположны, так как и,
и, w равны там нулю. Но для того, чтобы функции, гармонические в В
(обращающиеся в нуль на бесконечности), были противоположны в В,
необходимо и достаточно, чтобы они были также противоположны на границе
S, в силу непрерывности извне.
Пусть А, В, С значения -^Я1 , ... на 6' (значения, непрерывные
при переходе через S). Вычислим по непрерывности извне значения
()!{" dQa с,
~ на о. Мы находим:
дВ" If fn'pi - m'i, , , 1 . .
s
откуда для определения I, m, n имеем систему уравнений Фредгольма:
1 = , + I
..........................:................. I
Эта система сингулярная; в самом деле, однородная система
,В-,' [ |
2к J J г* I (13)
I
допускает решения, отличные от нуля; эта однородная система могла бы быть
удовлетворена тремя функциями р, q, г, дающими на S для дг dq
jlj - ~ , ... значения, равные нулю; р, q, г были бы тогда частные
производные функции U, имея вид трех потенциалов простого слоя:
к'do'
V-
^//
Но мы выше встречали подобные потенциалы [ом. формулы (10) и (11)],
которые получаются, если положить:
Х = а; >j. = P; v = y,
и которые являютоя тремя частными производными от
и- 4.
А
Учитывая значения к, у, v, видим, что имеются соотношения:
о_ Г Cfh-ZP'lti as- f f"'lГ
Согласно общей теории известно, что система Фредгольма невозможна при
этих условиях, если А, В, С имеют произвольные значения, и имеется,
напротив, бесчисленное множество решений, если А, В, С удовлетворяют
условию, которое легко найти, вычисляя - принимая во внимание эту систему
- интеграл:
(Ла -}- -|- Су) аЬ.
s
Мы должны здесь вычислить четырехкратный интеграл:
I III+ ("'ТГг - 1fai) Ч-
S S'
распространенный дважды на поверхность 8. Этот же интеграл равен нулю,
