Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
целью установить, не будет ли оно выполнено при более широких пределах
ивменения " (именно между О и wit). Мы увидим, что оно не выполняется
никогда, кроме и - и it, так что неустойчивость представляется полной.
Положим:
7. = -2 cosh mit cosh " -sinli wit sinh ";
имеем:
dZ_ it du
= | - cos
sh it
- cosh wit - it cosh in к -
sinh ms m
sinh тт.
sinh н sinh m- cosh и -
m
Igh " -
• sinh wit
cosh ?",
где
: | It COS
'IT.
Я.
cosh mr. ¦
sinh mi:
m
j tgh и - - si j ' m
sinh mit.
Коафицпент (mit cosh mit - sinh m") существенно положителен, в чем легко
убедиться. Далее имеем:
dt: / , sinh mi: \ 1 1
Ута функция имеет положительный корень, только если )"тс cosh "ftit -
sinlt иге > sinh тт.,
т. е.
тт. )> 2 Igh тт..
Следует различать два случая.
1° шт. < 2 tgii шт.. Тогда остается отрицательным, г убывает,
следонательно, остается отрицательным; значит, Z все время убывает.
Окончательное же его значение Z(wt) = т2. Следовательно, Z всегда
н о л о л; и т е л ь н о.
о , , dr,
2 шт. > 2 lari шт.. ¦ тогда переходит от положительных здаче-аи
нии к отрицательным; /; возрастает, начиная с нуля, затем убывает до
sinli5* тт. m cosh тт
silih2 тт.
¦ (тт) ----------------------------- " 0).
' мх nnch о-пчг 4 • '
dZ
Следовательно, г имеет корень и только один; сперва положительно, потом
отрицательно; Zвозрастает (начиная с Z(0) == т2 cosh шт.) затем убывает
до
^ (ык) - т:2.
Следовательно, в этом случае тоже Z всегда положительно. Неравенство (25)
сведется тогда к
G (н) = т2 cosh шт. cosh и - sinh тт sinh и -
m
2
Вычисляя произведение, имеем:
dn;
Ли
будет иметь корень только в случае
мт:2 cosh шт.- ;>к sinh тт. > т: sinh тт.,
что приводит к двум различным случаям:
1° тт < 4 tgli ой. Тогда w' всегда отрицательно и w тоже; (Г отрицательно
и G" убывает. Имеем:
а" (о) = -2 (cosh in- - i) -1-1 - -) >о
(/' (тк) -
2к . , , . smh3w/r
- sinh wr, cosh mn -4-----------г-
m
(-
sinh шт. m
sinli шт.
т: cosh in тс
f;2 smh2 тт.
sinh m-
Ho легко заметит!., что при а > 0 из величии sinh а - ас0 и аг~а первое
всегда отрицательно, второе всегда положи-
тельно. Следовательно:
(<" (пи.) < 0.
Наконец G"(n) переходит от положительных значении к отрицательным. О" (м)
возрастает, начиная с нуля, затем убывает до
G' (тт.) 0.
Следовательно, G' всегда положительно; G возрастает и так как ее
окончательное значение G (ш-) = 0, то G всегда отрицательно и неравенство
(26) никогда не удовлетворяется (кроме
II --= ШТ.).
2° т* > 4 tgh шт,. Предшествующий результат останется в силе, т" dw
В самом деле, в этом случае - положительно, потом отрицательно,
tv возрастает, начиная с нуля, затем убывает до отрицательного зна-3 т.
sinh9 и/я "
чения к ()н-) =------------------- . Следовательно, G сперва иоложи-
4 ' m cosh тт г
тельно, потом отрицательно; G" ( гг) возрастает, начиная с G" (О) (> 0),
затем убывает до G" (тт) (< 0). Следовательно, G" имеет корень и
переходит от иолозкительных значений к отрицательным. Последовательность
рассуждений с этого места тождественна с проведенной выше. Отсюда следует
высказанный результат.
ГЛАВА V
ПРИМЕНЕНИЕ ВИХРЕЙ БЕНАРА К ВЫЧИСЛЕНИЮ СОПРОТИВЛЕНИЯ, ИСПЫТЫВАЕМОГО
ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ В НЕОГРАНИЧЕ ИНОЙ ЖИДКОСТИ.
Постановка задачи. Мы уже указали, что опыт показывает, что лри
соблюдении большой чистоты условий опыта, установление вихревого режима
весьма близко к вихрям Бенара. Если привести в равномерное и
прямолинейное движение, при некоторых условиях относительно скорости,
цилиндр, образующие которого перпендикулярны к направлению движения, то
,,альтернированные " вихри отрываются периодически справа и слева, так
что на некотором расстоянии позади конфигурация, образованная вихрями,
очень близка к изученной в предшествующей главе. Можно, например,
осуществить опыт в бассейне с водой, находящейся сперва в покое и в
которой перемещается вертикальный цилиндр любого сечения. Собственно
говоря, существование свободной поверхности осложняет здесь явление, что
делается хорошо заметным благодаря наличию воронок, образованных
маленькими вихрями в точках, где последние встречают свободную
поверхность.
Первое углубленное исследование этого вопроса было проведено Бенаром в
1906 г. (С. И. Acad, des Sciences, t; 147, 1908, p. 839). Mallok в 1907
г. (Proc. of the lioyal Soe., t. 79, p. 262) объяснил почти в то же время
явления образования эолийских звуков. Д. Рябу-шинский в 1911 г.
(Aerophile, 1. 19, р. 15) показал при помощи маятника периодичность
альтернированных вихрей позади препятствия. В 1912 г. Karman и Rubach
дали математическую теорию явления, описав относящиеся сюда собственные
опыты (Physikalische Zeit-schrift). О тех uop опубликовано большое число
работ по этому вопросу, вплоть до исследований Relf'a (Phil. Mag., t. 42,
1921, p. 173; E 49. 192, p. 509), работ СапнсЬеГя (Paris, 1925, Ed. G.
Roche d'Estre/i editeur), Toussainta с его замечательной постановкой
опытов, показывающих явления последовательного обтекания [Contribution а
