Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
ф и логарифмическим потенциалом).
Пример. Б е с к о н е ч н о тонкая трубка в неограниченной жидкости,
покоящейся на бесконечности. Пусть имеем единственную трубку
интенсивности I, находящуюся в начальный момент в А, с сечением da.
В добавочную часть скорости элемента, находящегося в Р (рис. 8), войдет
слагаемое, перпендикулярное трубке и АР; оно, следовательно,
в плоскости чертежа, нормально АР и имеет направление такое, чтобы
вращение С стремилось увлечь точку Р.
Чтобы вычислить скорость W, подсчитаем циркуляцию вдоль окружности АР.
Эта циркуляция 2wT7 имеет одинаковое значение вдоль всякой замкнутой
линии, окружающей В; она равна в точности и н -тенсивности 2'(.da = Т.
Следовательно,
Рис. 8.
17
2 кг
Эта формула дает распределение скоростей вокруг J, Что касается до самой
точки Л, то очевидно она остается неподвижной, по соображениям симметрии,
так как жидкость покоится па бесконечности. Далее находим:
- I U - Уо ^__________х_______,ьо____
"- 2ч {x-x0)* + {y- Vof ' 2- (х - ,г0)2 (У УпУ2
Вне А существует, следовательно, потенциал и функция тока ф, заданные
равенствами:
откуда комплексный потенциал
1
Диференцированием но ж этого последнего уравнения получаем комплексную
скорость;
Обобщение для многих трубок. Мы все время будем предполагать, что
жидкость покоится на бесконечности.
Если имеется несколько бесконечно тонких трубок A h с интенсивностями Т"
(исчисляемыми алгебраически, как и выше, и неизменяемыми, как мы это
видели), то, так как скорость частицы является результирующей скоростей,
происходящих от каждой Лк, то находим для комплексного потенциала и
комплексной скорости в (ж, у) выражения;
Движение вихревых трубок. Рассмотрим трубку Л,. Скорость ' ~dit)
11Роисхоаит от вихрей Ла, Аа, ... и может быть от самого
внхря At. Но этот последний, если бы он был единственным, оставался бы
неподвижным; следовательно, скорость, происходящая от самого вихря,
отсутствует, и мы просто будем иметь:
и - гг
А-
dxl d')>t _ d(j]
dt ду, ' dt
d!h ^ fyi
dt дх, '
где положено
нри обозначениях, которые понятны сами по себе.
Если положить:
Н=-~^^1ь1ЛгкН,
то мы видим, что
Ы1 . дН _ . <fyl
1х[ ~ Wx " 1ду['
Следовательно, имеем уравнения движения трубок в виде:
, dx, дН dy, дН
1 dt ду1 ' 1 dt дхх '
dx<2 дН dy2 _ дН
^ dt ду2 ' ^ dt дх2
Это, с точностью до незначительной детали (которая устраняется, если
положить Sk = Ihг/*), суть канонические уравнения. Легко заметить
некоторые простые свойства функции Н; она зависит только от относительных
расстояний rhh. Она остается, следовательно, неизменной при всяком
перемещении, сохраняющем эти расстояния глк. Совершим малое перемещение
всей системы в целом параллельно оси Ох (все х возрастут на- Ьх)\ Н при
этом остается неизменной, и мы имеем:
М + М.+ "о
дх, ^ дх3 ^ '- - '
и также
аЯ , дН
ty 1 ду2
Заставим повернуться всю систему в целом на угол 9 вокруг точки О,
= - г/80, 8 у = #80.
Ы должно остаться неизменным, и мы будем иметь:
( дН , дН\ . ( дН дн\ ,
[~^х+х'ж) + \у^+х*ж) + ---==0-
Наконец, предположим, что все хну заменены на Хх и Ху, гм. умножится
тогда на X, и мы получим:
Н (Xa:t, Хух, ...) = Н(хх, ух, ...) ^ ДЛс
Диференцируя по X и полагая X = 1, будем иметь: дН , дН , 1 чд
Следствия: Центр тяжести трубок неподвижен. Вообразим на минуту, что
интенсивности в точках Ah заменены равными им фиктивными массами. Их
центр тяжести найдется по формуле:
•ГП 2 h = 2*/, ' • • •
Эха точка И будет существовать, если только 2 h ^ 0, и мы будем иметь:
( V / \ ^° =У г dj:*
[jdd hJ dt Zd'h dt ^ di/l;
Следовательно, xQ = const,...
Заметим, что если 2 h - 0. тем не менее, будем иметь уравнение:
Sv?- о,
т. е.
2 hxk - const,
и также
2 fk!tl: - const.
Сумма моментов инерции относительно оси Ог масс 1и равна постоянной.
Так как
d
dt
_ " V / М эй \ п
2 2d [х* дук у,; дтк ) ~ '
что и требовалось доказать.
Функция Я остается постоянной. Так как
сШ
' dt'
__ дН dx j дН dyi ,____________ ОН I 1 дН \
З.г, dt ' дц1 dt ' ' ' ' дхл \ Ц ду1 / '
' Ь/г I h дх J + ¦ ' '
Сумма моментов количеств движелияотносите лъно 0~
остается постоянной.
Так как
Пример. Две вихревые трубив Jt и А.2 с интенсивностями и /2. Здесь
2п
"']2-
7/ является постоянной и, следовательно, г12 тоже. Пусть Jj -f- /г^О.
GAo
Тогда точка С существует и неподвижна: - - f . т .
Длины СП, и С И 2 тогда также постоянны, точки Ах и И2 перемещаются по
неподвижным окружностям с центром О. Сумма моментов количеств движения
относительно G является постоянной, 1, н i2 вращаются равномерно вокруг
G.
Рис. 0.
Рис. 10.
Если 7j-}-/2 = 0, то уравнения, относящиеся к центру тяжести, будут иметь
вид:
/ dx1 dx2 \ _
'{ dt dt,)~ '---'
они показывают, что A j А3 постоянно по величине и направлению, точка О
уйдет в бесконечность по направлению А1 Л2, а точки А, н И2 опишут с
равными скоростями две параллельные прямые (нормальные к A j Л2); общая
величина скорости будет равна
V =
I
1
2н АгА2 '
где 7 абсолютная величина обеих интенсивностей. Частица Р, расположенная
