Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
на оси симметрии А В имеет скорость, равную геометрической сумме
скоростей W1 и ТЕ, (см. рис. 9), иричем
1
1 \
Рааультирующая скорость W направлена, следовательно, по А В. В частности,
частица, помещенная в А, будет иметь скорость
V, - 2 - ~j~r~ - -г", =47, те АА, кАхА2
т. е. учетверенную скорость перемещения вихрей.
Атмосфера вихревой трубки (Lord Kelvin, Proceedings R. S. Edinb., 1867).
Всякую вихревую трубку сопровождает некоторое количество безвихревой
жидкости, которая образует как бы атмосферу трубки. Это очевидно на
предыдущем примере. Согласно сделанному замечанию, существует место
точек, где скорость жидкости имеет составляющую, параллельную А В и
равную V. Полученная на рис. 10 кривая ограничивает атмосферу. Начерчены
линии тока по отношению к осям, связанным вихрями.
ГЛАВА IV
ВИХРИ БЕНАРА-КАРМАНА. РЕГУЛЯРНАЯ ЦЕПОЧКА. ДВЕ СИММЕТРИЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ. ДВЕ
АЛЬТЕРНИРОВАННЫЕ ЦЕПОЧКИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭТИХ КОНФИГУРАЦИЙ
Вихри Бенара-Еарнана и регулярные вихревые конфигурации. Мы уже видели
выше, что если рассматривать движения плоские, с бесконечно тонкими
вихревыми нитями (прямолинейные и вихревые нити перпендикулярны
рассматриваемой плоскости хОу и жидкость можно считать либо бесконечной в
направлении Ог, либо ограниченной двумя плоскостями г = const), то
скорость жидкой частицы, происходящая от наличия вихря интенсивности I,
определяется ив равенства
Т 1
и W - g - g0'
где е0 - аффикс этого вихря. Существует потенциал и функция тока,
определенные вне вихря при помощи комплексного потенциала
1 = 9 + ^ Ц (* - го)>
в предположении, что скорость равна нулю на бесконечности (в противном
случае, мы можем всегда наложить на рассматриваемое движение
поступательное движение жидкости в целом), так что имеем:
д'р д'Ъ
дх. ду '
9" ___
1 ду дх
и кроме того
и - w - ~~ .
(л%
В случае, когда имеется несколько вихрей, достаточно просуммировать
соответствующие функции. Чтобы получить скорость перемещения какого-
нибудь отдельного вихря, достаточно применить вышеприведенные формулы,
исключая при этом член, соответствующий научаемому вихрю.
Функция , соответствующая такому вихревому состоянию, происходящая от
наличия точечных вихрей, будет, следовательно,
JL у-(1)
^ z - zk v '
Эта функция характеризуется тем, что она обоащается в нуль на
бесконечности и имеет особенностями простые полюсы zh с главной J dy
частью ------- , Ясно, что этими условиями функция -f- опре-
\J2 г ?f.j &?
деляется вполне, по крайней мере, если жидкой областью служит вся
плоскость, так как, если из нее вычесть главные части, соответствующие
полюсам, то разность, регулярная всюду и обращающаяся в нуль на
бесконечности, сводится к постоянной и, следовательно, равна нулю, т. е.
значению этой постоянной на бесконечности.
Этот результат легко распространяется и на случай, когда число вихрей
бесконечно при соблюдении, если 0 надо, необходимых предосторожностей,
Рис. 11.
обеспечивающих сходимость рядов, аналогичных (1), путем надлежащего
преобразования каждого члена.
Бесконечная вихревая цепочка. Пусть, например, имеем следующую
конфигурацию (рис. 11), образованную бесконечной последовательностью
вихрей, равных и одинакового направления (интенсивности I ). Здесь имеем:
Sk - е0
РЯД пе будет сходящимся, но сделается таким, если сгруп-
s Zk
пировать члены, соответствующие к и -к, т. е. если соединить вихри,
равноудаленные от е0 (без этой предосторожности результат не будет
определенным); тогда имеем:
I
U - IV е=
2гк
2 о Z,
I S,
"о - Ы з - з0-\-Ы
Найдем собственную скорость перемещения вихря, например, вихря г0.
Очевидно имеем:
(и - гЧ0о =
1-1," V(-1
2"jc - г0 - М 1 г - г0 -\-Ы '
- 1 Vm V 0 (2)
что является почти очевидным по соображениям симметрии.
Соответствующая конфигурация неустойчива. Зададим конфигурацию, очень
близкую к данной, причем вихрь к моменту t перемещается на малую величину
&гк = \к -j- irlh. Исследуем, будет ли система иметь тенденцию вернуться
к начальному состоянию. Согласно уравнению (2), написанному в виде
имеем уравнение в вариациях:
2гк
~(2"о~ *Ч):
V
JU
1
и, следовательно;
2тг ( di\a
dt
(^0-^)a (z0 - z-k?
:* + 4 -$o -4
№
?_*+"] ic - t0--Ч' №*
(3)
Тивим образом, имеем для всякого вихря уравнение, аналогичное (3) и
эквивалентное двум обыкновенным диференциальным уравнениям. Известно, что
СО
1
vy I К*
1с 2 ~ 6 '
Не изучая полностью систему бесконечного числа уравнений, е бесконечным
числом неизвестных, посмотрим, не допускает ли эта система решения
частного вида:
^ = Me,"(W+a'*"f
ти==йуе*"("+"*), (4)
ю и X, а также М ж N постоянные. Условимся в правых частях сохранять
только вещественные части. Уравнения
I dt т* пр 7)0'
1
2* ЙУ)0 _ ^ +&_* t
I dt т* зр 01
I
после сокращения очевидных множителей примут вид:
2тсшХ^2
2тсшХЙ
1
М = N
N = М
*2
1
со
"2
COS шЫ
3 (Jj/i*/ \ ТС2
fc5 / т )-Т
COS а>Ш
откуда
со
I COS ш /с! ^ тса
^ V ^ J ?г
к2
4тс2шаХ2/'4
Г2
= 0.
Зададимся ш вещественным, тогда X число мпимое, так как все содержимое
