Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Предположение, что выводится ив строя лишь один вихрь, разумеется, не
имеет физически практического значения и, казалось бы, полученное
заключение следовало бы отбросить, но мы, однако, будем дальше развивать
полученные вычисления, так как они позволяют упростить дальнейшие
рассуждения. Жуковский (Aerodynamique, р. 212 и след.) пытался отсюда
сделать вывод, что альтернированная конфигурация будет устойчивой, если
это условие осуществлено, и неустойчивой во всяком другом случае,
симметричная же конфигурация всегда неустойчива. Но эти рассуждения
неточны, так же как и сделанные им из них выводы. Мы снова исследуем этот
вопрос, рассматривая две вихревые цепочки, альтернированные в начале, и
предполагая, что каждый из вихрей может сместиться относительно своего
начального положения. Мы назовем и t>sk' соответствующие смещения - S* +
*4t) и поищем уравнения, определяющие, например, смещение вихря,
находившегося в начальный момент / в г0. Исходным пунктом все время будет
служить уравнение (А), дающее (ид, в0), которое мы запишем в следующем
виде:
cosh -j- = У 3.
т. е.
Возьмем уравнение в вариациях; мы получаем:
2it / dr|0 . <й0 \ / Ч -Ч . 8я_,, - Ъг,
!л ld\ , . "'о \ V / * о , Ьв-к ~~ Ч \ ,
Ч-Ч' , v / Ч-ч* , Ч-Ч-* \ Ч-О2^ ^Ч-^^Ч-Ч.*)2/' ш
Но
*0 А
- ы f &0-=я "Ь ^
*о'==^о-J -А"
#о -Л "-о +Л-Ы5
Ч~Ч)2
Коэфициент при 8"0 в правой части (1) будет тогда
°° , -н"
St+S-
2 __ '? ли №
1
Он равен вычисленному уже выше коэфициенту, если мы вари-ируем только г0.
Мы согласуем эти результаты следующим образом.
Прежде всег0 ^ Ж = X'
С другой стороны, формула
1 +0° т
1 1
sin2 х Л4(х -Ы)ъ '
-оо
которая получается путем диференцирования из разложения ctg х, нам дает:
+ оо
i2ctgh2 -
Находим, следовательно, коэфициент при 8г0, который равен
Уравнение (1) принимает вид:
?ф+'2)-4ЬЬг-*)л+*н-
cosh8 ,
1 (!')
, ^ ч +*._ ^ (*-4.) _ _
'¦4- *• 4
О со
В последней ^ можно заменить ^ на заменяя к иерее-(к-1), и
- СО 1
получить, отделяя вещественную часть от мнимой:
2тс е%0 тс8 / 1 1 \ 1 °° цл
I dt~ р\ ,вжЛ з Л°ч~ г8 2^
+ *)-*
, . _ "•
cosh8-у- 1
_2Ы\ (fc~^)(^~g~№~1>) _
> [(*-у):*+"]'
" (й_Л2/а_ла ^V"r7 fTi Т2 ^ 4 Н" *1
8 Lr т) *a+*aJ
2тс df")0 тс8/ 1 1\
/ 1 М 1 "
( т) 5°+ж2]
/ <г< /а \ тсА 3/ oni8ii it8 eosha у
2 )
If
(*-т
4- 2йг . . а -12
^ [(Л-т)га+Н
p-h?
С'*+?'_<*_").
(2)
Получится столько групп таких уравнений, сколько вихрей в первой цепочке.
Что касается вихрей второй цепочки, то они порождают аналогичные
уравнения и, в частности, те, которые соответствуют вихрю, помещенному в
г0', получатся совершенно так же, как и предшествующие
2iI dl0' -2 / !
'тиг^т* It
cosh2
7ГЙ
CO
Й2
2 hi
-(* +D
)
+
<* +1)
zl d^z.
I dt
(* + \)2V+W
:Vi !_\e,_iv**±5
2\3 ,0nfc/ 0 J2Zj fc* cosh2-
4- 2 hi
(' + 4)(ч* -Ч-сч-ц 1
¦A2
Ы)
+
>+i)
(*+±)'p+>
(vs H- ^ - (ft + 1) )'
I* + №
(3)
Переход от предшествующих уравиепий к этим совершается заменой Г на -I,
(?, т|) на (S', vf), h и / на -h и -2. Замена
(л0 - на (гд -гк) вводит |^ + тг)^ вместо yj I в соответствующих членах.
Новые 2 п°йдут от О до -)- оэ после соеди-
нения значений 1с и -(Л -| -1). Очевидно, можно написать, вместо
¦ 5 (4 + j) )
[(* + -§-) *2 +
VI (к ~~т)
2j
Получаем таким образом бесчисленное множество диференциальнь уравнений с
бесчисленным множеством неизвестных; эти уравнеш линейные однородные и с
постоянными коэфициентами. Они лег
могут быть сведены к обыкновенным линейным уравнениям с бесконечным
числом неизвестных, которые могут быть исследованы по методам Fr. Riesz'a
(см. его книгу: Les systemes d'equations lineaires a une infinite
d'inconnues, Collection E. Borel).
Основываясь на формуле Фурье
получаем очень общие решения посредством линейных комбинаций,
образованных ив периодических деформаций следующего вида:
где М, Лт, М', Л" являются постоянными и где условимся брать только в е-
щест венную часть выражений, стоящих в правой части. Перенося выражения
(4) во (2) и (?>) мы получим, отбрасывая множитель
о
-СО
/¦>("+*) в0 (2);
Отбрасывая же множитель е1и)(х*+*"') в (3^ имеем:
2тс , тс2/ 1 1 \ . 2N' vtcoscoW
2к ^( 1 1 W' v0
T.Uf' = -p --j-? Л -тг^-
' "osh2 -у- ' I
¦ШМ
<Н [('-т)'р+оа]! v (s-i)V-M .
^ [(*-т)'р+да)]
2A/'vtcos соЫ
¦4WJV
/2 Л2 cosh2-^- ' 1
I
v(!ziti!zil!Z4-
4" [(*--5-),p+wr
-f"^rbirs 7,t"(*-t)*
Положим для сокращения шХ
(б')
Тогда предшествующие формулы запишутся так:
о M+(P - C)N + ВМ' + AN' =0,
(Р- С)М- aN + AM' + BN' =0,
ВМ- AN + о М' - (P-G)N'=0,
AM- BN +(Р_(7)Ж/+ о N' = 0.
Эти уравнения относительно М, N, М', Ж' не могут иметь решений, отличных
от нуля, если не соблюдено условие
= 0,
а P-G В А
P - G - а А В
В - А а -(Р-67)
А - В Р - С а
развертывается в виде:
(Р - 67)* = А* -Б2 - а2 rfc 2Ра
или
(Р -02+(Р±а)2==Ж
Но для того, чтобы (5, т|, ч{) оставались конечными при изменении t,
необходимо, чтобы т. е. а было вещественным. Отсюда необходимо условие
\А\>\Р-С\, (6)
если имеется в виду устойчивая конфигурация; и это должно иметь место,
