Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
дк #0 дк 00
дх ду ' ду д.с
позволят нам написать
9?_05 0у__0^
дх ду ' ду дх '
так что формулы (6) смогут быть записаны:
(14)
(15)
генса. В самом деле, если веять для арктангенса два различных значения,
то разность соответствующих значений (ft- Q) будет пропорциональна
количеству, равному очевидно нулю, в силу несжимаемости жидкости.
Из уравнений (15) следует непосредственно, что линии тока в момент t
будут иметь уравнение:
Замечание ТТ. Вполне понятно, что из уравнений (15), из факта, что ft - Q
является гармонической функцией, нельзя заключить о равенстве нулю вихря
внутри (М), так как в силу наличия особой точки "• = О, имеем внутри
(/1), как ото следует из уже приведенной теоремы:
(которую мы также могли бы ввести) не является однозначной в области А.
Общая задача в трех измерениях для сосуда, находящегося в заданном
движении. Вернемся теперь к задаче в трех измерениях. Мы увидим, что
вопрос может быть решен аналогичным образом. Предположим сперва, что с о
с у д н е по движе и. Формулы, дающие скорость в какой-нибудь точке
жидкости, будут тогда, как мы видели, иметь следующий вид:
где через А обозначено выражение (функция заданных вихрен)
Эти последние выражения зависят от еще неизвестных скоростей на стенке S:
п', ?/, н:'. Мы применим формулы (1) к точке т, находящейся на стенке
ft', но так как Аг, Вг, С\ образованы при помощи
f (а"' + Эе,)*'= f VndP,
с
а
ft - Q - const.
Л (Q - ft) = 2z •
Уместно отметить, что функция, аналогичная Q -
Р= f j 2"<)'dS-j- J Qu'+a/jfi'ds'
A
a
и = A -f- Ai, ..
(1)
rf (в -s')-t,' (y - y')
,.S
(2)
и где положено:
частных производттых от потенциалов простого слоя, мы должны вспомнить,
что эти потенциалы V = j J - <1- имеют нормальную произ-
S
водную, разрывную при переходе в обыкновенной точке через поверхность S,
на которой располагается слой; величина скачка при переходе с внутренней
стороны на наружную равна 4"8т, где 8т означает плотность слоя в точке
да, считал при этом, что нормаль направлена на-
dV
ружу; два значения, отличающиеся на 4лош, суть предельные значения
взятые соответственно в двух точках на нормали в т, очень близко друг
от друга, когда мы заставляем и ту и другую стремиться в да.
Если мы рассмотрим значения V и
аг
dn '
вычисленные непосредст-
венно в точке да, то новое выражение dV
dn
не совпадает ни с одним из пред-
шествующих пределов, но (см. напр. Е. Goursat, Analyse, t. Ill, n° 538)
величина скачка при переходе от этого значе-Рис 7 ния нормальной
производной к одному из
указанных предельных будет равна 2л8ж.
Кроме того, тангенциальные производные, когда они существуют, что имеет
место при весьма общих условиях (см. мемуар A. Petrini, Les derivees
premieres et secondes du potentiel (Acta Mathematica 31, 1908, p. 127 -
332), непрерывны.
Отсюда следует, что частные производные по х, у, в, вычисленные внутри и
непосредственно н а поверхности S, обладают одни по отношению к другим
разрывами, равными 2гс8м, умноженными на
cos пх, cos пу или cos иг. Из всего предшествующего мы заключаем, что
если в формулах (1) мы заставим точку (ж, у, в) стремиться (внутри
сосуда) к точке да на поверхности S и если, с другой стороны, мы примем
значения интегралов по поверхности, вычисленные непосредственно на S, то
мы получим следующую формулу вместе с ей аналогичными:
: A -f
4тс I ду
ш
pv
¦ dr-
I j
-r
¦ar)p-
.ум) T,
(4)
где (", v, tv) означает скорость в да, и где штрих указывает, что
рассматриваемая величина относится к точке да', на которую
распространяется интегрирование (рис. 7).
Введем направляющие косинусы
направления тт'\ будем иметь:
д_
дц
,ч
следовательно, после очевидных упрощенг*-
у " + у "(""' + + Т"0 =
-J + ±ff - <0 - т. (-'¦"' - ущ (5)
ts
иди еще
1 1
_ и + _ а (я* + "Э + и'у) =
_ Л _j_ _L J* Jц/(д"и' + Р1У + ТТЛ) - + w'b) da, ((;j
S
или, наконец:
(7)
где ("я -{-"Э ~Н должно исчезнуть, так как скорость, нормальная
к стенке неподвижного сосуда, равна нулю.
Мы получаем, таким образом, три уравнения этого вида, которые являются
уравнениями Фредгольма, решаемыми классическими методами. Они позволят
узнать скорость жидкости во всех точках стенки S, а затем формулы (1)
определят скорости (", v, tv) во всякой точке в функции только вихрей,
заданных во всякий момент.
Замечаниях 1°. Только что примененный метод, перенесенный на случай двух
измерений, даст следующие два уравнения (интеграция по s от - оо до -j-
00 введет, как это хорошо известно, логарифмический потенциал, см.
Appell, ПТ, р. 116):
Полагая Vt = av - pa, и учитывая, что Vn = т vp = О, иодучаем, путем
очевидной комбинации
с
уравнение, которое легко отождествить с уравнением Фредгольма прошлого
параграфа, относящимся к плоской задаче.
2°. Чтобы дополнить приведенное изложение, следует еще убедиться, что
полученные решения уравнения Фредгольма удовлетворят веем поставленным
условиям и, именно, соотношению
на поверхности сосуда.
Мы увидим, что удобное преобразование метода, принадлежащее I. Delsarte'y
