Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
трудностей, проистекающих от присутствия вихрей), вторую А'В' очень
далеко справа. В момент ~ рассматриваемая масса заключена внутри АВА'В'.
Беря расстояния достаточно боль-
0 в у Dr В
л • • • • • t А± •
С А С' А'
Рис. 10.
шими, мы сможем без чувствительной ошибки допустить, что на А В
относительные скорости проистекают из потенциальной функции / (с
точностью до поступательной скорости -и0), что на А 'В' скорости частиц
равны -"0: на В В' и А А' скорости тоже близки к -v0.
Теорема количеств движения примет теперь следующий вид: производная по
времени от количества движения, спроектированного на Ох, для
рассматриваемой жидкой массы равна сумме проекций на ось Ох всех внешних
сил, приложенных к этой массе. Если мы теперь обозначим через 1Г
сопротивление (в направлении оси Ох), испытываемое телом (на единицу
длины цилиндра), то реакция, воспринимаемая жидкостью со стороны твердого
тела, будет равна - ТЕ; о другой стороны, давления уь испытываемые
жидкостью на АВА'В',
которые должны причисляться к внешним силам, дают в сумме
- (J) pdy.
Если мы проинтегрируем упомянутое равенство в пределах от начального
момента т до х -j- Т, то получим следующее:
8 (равность количеств движения масс, находящихся в АВА'В' в эти два
момента -(- количество движения масс, вышедшего иа прямоугольника аа
время Т)
-+Т т+т
8 - - f \]TfH - у* dt^pdi/.
Т Т
Так как очевидно, что ТГ допускает период то отсюда следует,
т
что первый интеграл справа равен j 11 'dl и представляет с точ-
О
ностью до внака и множителя Т среднее значение сопротивления тела; это
очевидно и все, что можпо па,деяться вычислить при сделанных гипотезах.
Равность 8 количеств движения, которая стоит в левой части, легко
вычислить. В самом деле, она равна равности количеств движения в
прямоугольнике АВА'В' (предполагается неподвижным) в моменты х и
сложенной с количеством движения, вышедшим
из этого прямоугольника за время Т (с целью учесть те части жидкой массы,
рассмотренной в момент ", которые могли выйти за пределы площади АВА'В' и
быть заменены другими, не находившимися там прежде).
Но по истечении времени, Т конфигурация, представленная в прямоугольнике
АВА'В', почти та же, что и в момент х; разница единственно в том, что в
своем движении относительно Оху твердое тело переместилось на длину (г-
н0) '/' = / в направлении Ох и, следовательно, картина, которую мы
застаем в момент х-}- У, в точности такова, как в момент х внутри
прямоугольника С BCD', полученного перенесением АВА'В' на длину I в
отрицательном направлении.
Разность количеств движения внутри АВА'В' в моменты т и ~-\-Т равна,
следовательно, количеству движения массы ABC В в момент т, уменьшенной на
количество движения А'В'С'В' в тот же момент. Но в А ВС В далеко слева
относительная горизонтальная
скорость равна-"0 -]-¦ ; в А 'НС ТУ далеко справа
она равна
- "о- Искомая разность будет равна, следовательно:
(l J J ( - и0 |- dxАц - о J J (-un)dxdt/,
ABOU Л'В'СГТУ
т. е.
II
ЛВС!)
Tif dx At/.
Наметив, наконец, что количество движеиия, вышедшее из А ЕЛ'В' за время
противоположно по знаку вошедшему туда, получаем следующее равенство:
Т 1 + т
>п-$ dxdi/ = j Wdt-J dl ^ pd;i -j- tx),
ABCIt ' о т
где Q обозначает количество движения, вошедшее в ЛВА'В' за время Т.
Чтобы знать теиеръ среднее сопротивление, нам остается подсчитать
пекоторые выражепия.
Иычисл1НШ' L и 7/. Вычисление р Г Г - dxdt/^L. Мы вычис-
J J 0'1
,i ван
лим :>тот интеграл непосредственным переходом к пределу, т. е.
предполагая Tj очень большим.
Имеем:
I 4-00 /
~ р J dx j - p J dx\<!f(x,ti)- "Их, - "l)],i=e,
l>---------- Oo И
Но на значения у получаем, обозначая через z0= j - величину,
соиряженную
г] sill "~(%+ x + 41)sin -j- (?0 ~Ь x - 'd)
sin y (,?0 - x - it})sin ~ (?0 - x + it/) т. e.
и '^ттХ
/ cosh - (/< -|- •>!)) - sill al-
^ 4" I;' i T' ,41- 2kx
cosli-j- (h - '2 if) + sin -j-
Для у/ = -\- со количество под знаком lg стремится к
¦>~h
,¦ I
Для tj -- - со находим также
_'>тЛ
г ~1 .
откуда окончательно
I , 1 I, л \ 111
ф X, -1-00) -ф (X, - со)= _ =-р,
и, следовательно, мы получаем:
г
L - p J B?-dx=PIh.
т+ Т
Вычисление - J dt pdy -j- Q = L'. Мы теперь вычислим со-
Т
вместно сумму количества движения, которое вводится в контур АВА'В', и
интеграл, происходящий от подсчета давлений. Прежде всего, если (а, (3)
направляющие косинусы внешней нормали п к замкнутому контуру С, то
количество движения, выходящее из элемента контура ds в течение единицы
времени, будет очевидно:
р (и'a -j- v'p) u'ds,
но в силу формул dx - - dy - ads оно превратится в
р и' (и' dy - v'dx),
и для всего контура
р / u'iu'dy - v'dx), с
так что количество движения, входящее за единицу времени, будет то же, но
с измененным знаком; и так как относительное движение без чувствительной
погрешности можно принять установившимся на контуре АВА'В', то количество
движения, вошедшее за время Т, будет:
рТ / u'^dy- mV dx.
АВА'В'
Что касается давления, то в силу того же замечания, что и выше,
