Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
, u'a-\-v'2
р - const - р А----------
Л
вдоль АВА'В', и очевидно получается:
т. е.
¦ jpdy*=-f-f-J*
с с
¦ J pdy - J (У2 + г/2) dy,
АВА'В'
что дает нам, после присоединения результата вычисления вошедшего
количества движения, выражение:
т
/Г Г и'2 "/ а
dt I pdy -\-Q = $T I ---------^------^У - #V dx -- L'.
Положи(r):
ду •
дх '
где и иг; обозначают абсолютные скорости; имеем:
м' = - ий-\-и, "' =
Тогда г выражении L' член с м02 очевидно исчезнет, член с и0 также, так
кав он равен
м07'р vdx - udy
что разно нулю в силу уравнения неразрывности (т. е. закона сохранения
массы). Остается, следовательно,
L' = Tp
Но, в силу хорошо известных формул
•IV -¦
dy - uvdx.
iL
dz '
w2 = ма - v2 - 2wv, dz-dx-\- idy, мы сможем, очевидно, написать:
f* w(r)
2L' - Tp X веществ, часть от ш --г- dz. Но хы имеем на больших
расстояниях позади тела:
W = и - %v =
iL 21
ctg-j(*o-f-*)+ctgy (я0-2itzn
*)
il
I
sm-
l
cos-
2 tcz
I
-cos
2ir z0~
~T~
Элементарный подсчет показывает, что \w\ стремится очень быстро к гулю,
когда | у | возрастает. Кроме того, на А А' и В В' справа и на А'В'
значения и и v равны нулю. Заметим далее, что выражения, происходящие от
горизонтальных сторон, какое бы ни делалось различие между режимом
впереди и режимом сзади, должны быть равными, чтобы в сумме давать нуль.
И находим окончательно в пределе:
~ Jil i СО
2L' - 'Ip веществ, часть
/4- и>2dz, *
-Ы - ioо
где интегрирование ведется вдоль прямой х - - Ы или, быть может, в
соответствии с расположением вихрей х = -Ы -j- -, что даст оче-
А
видно тот же результат.
Положив
" = - kl + iy,
получаем:
, T:h cosh -=- il _________________________I________________________
W I 2п2/ i • • ь *
cosh-smh-=-I I
следовательно, надо вычислить:
+ °° . " 7rft
Л (tm) cosha dy
21/ = ШТр J -Ж7 ^ ^ t _
Чту . . , яhy cosh -р- +* smh - I
PT?-COsw
р i
что приводит к нахождению значения интеграла
СО
dy
М
=+/
Л (c°sh " sinh -^-Ja
Ради краткости проведем вычисление в предположении, что
cosh = Y 2 1 sinh = 1 С I
hiг -
и следовательно = lg Cl -|- 2 )
Ь
. В этом случае
где
+ со 4" со
м - Г dy 1 Г db
1 (cosh^+i)2 (coshe + г)2 ¦
Следовательно:
2к 9t (M{) _ Г sinh2 6 d%
I J (1 + cosh2 6)2 *
и положив
X = tgh 0, db = ¦ , cosh2 0 = ---, sinh2 Г ^
1 _ \2 > 1 - X2 ' 1 - л2
имеем:
1 1
(А
п Г X2dX 1 /' X V 1 г
I J (2 Т.2)2 2 \2-Х2]0 2 J
2 - X2
О
=---[-- igJ4JLi/V=J 1-ig (1 "j/- 2)
2 2 I 2 1/2 6 i/Y-xjo 2 2\Г2 ''
откуда, наконец,
" кк
Если не накладывать на величину -у- определенного значения, то
*
аналогичное вычисление приводит к формуле:
или еще:
т, ТрР I 2кки0 \
L = ~2лГ ( I---------1)'
, ТрР f ich ick \
ikr\~r g п )¦
Из всего предшествующего вытекает, что т
J Wdt = TWm - L' - L,
О
откуда после приведений и приняв во внимание значение Т- -у имеем:
или еще:
рIh рР ( пк тгк
/ кк кк А
(~г^ i ) ¦
W =_____ , ¦, -
Т 1 2nl \ I
Таково теоретическое выражение, полученное Карманом для среднего
сопротивления при сделанных предположениях.
Метод J. L. Synge. Методом более полного приближения, полезность которого
мы отметим в дальнейшем, Synge (Proc. Roy. Irish. Acad., t. XXXVII A,
1927, p. 95) пришел к той же формуле для со-
противления. В виду важности вопроса, мы изложим здесь этот новый метод.
Простой процесс, примененный выше, не свободен от двух следующих упреков:
прежде всего мы провели вычисления, допустив, что движение на больших
расстояниях квази-перманентно; с другой стороны, поле скоростей позади
тела вычислено в предположении, что имеются две вихревые альтернированные
цепочки, неограниченно простирающиеся в обоих направлениях. И в
действительности, весьма вероятно, допущенная таким образом ошибка весьма
незначительна, так как, если поместиться позади на большом расстоянии от
тела, то
Г
ГГ-Х2
Г
г
г~
о
$
Рис. 17.
вихри, незаконно введенные впереди, дадут для скоростей слагаемые,
которыми, очевидно, можно пренебречь.
Но мы не знаем в точности, каков порядок приближения, полученного таким
образом, и наше рассуждение, несколько грубое, может внушать некоторые
опасения.
Альтернированные вихревые цепочки, неограниченно простирающиеся в одну
сторону. Мы начнем с рассмотрения, каковы скорости в жидкости, покоящейся
на бесконечности, происходящие от двойного ряда вихрей, интенсивности ±
I, расположенных, как указано на одном или другом из приведенных здесь
чертежей, где, как видим, имеется только один вихрь справа от оси Оу;
вихри верхнего ряда имеют интенсивность Г, нижнего -Г; верхняя цепочка
соответствует аффиксам;
а нижняя цепочка:
el ih .
I 2 П'
где п == О, 1, 2, ... и е = ±1, соответственно первой или второй
конфигурации.
Имея это, положим:
. el ih
х==т+т;
комплексная скорость в точке жидкости z> происходящая от рассматриваемых
вихрей, дается уравнением:
w = и - iv = V (-------------г---------, -г V (1)
'Ivk \ з ¦- I. -j- nl s -]- л -{- nl ]
Очевидно, весьма естественно, что это выражение может быть
аппроксимировано с помощью классической формулы, касающейся функции Гамма
