Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
скобок вещественно; известно, что для -тс < г < тс имеем разложение в
тригонометрический ряд:
тс2
тг
¦2
(- 1)" 1 cos мл
Следовательно, заменяя х на тс - х, имеем для 0 < х < 2тс
(тс - х)2 _
12
cos х , cos 2ж
1
22
и для 0 < ш/ < 2тс количество, написанное в скобках, может быть написано:
(тс - tal)2 о
2 '
-г.--
X, следовательно, чисто мнимое, кроме случая ш = о, когда X также равно
нулю. Отсюда следует, что существует сколько угодно перемещений вида (4),
для которых X чисто мнимое. Эти перемещения не исчезнут, следовательно,
для бесконечного t. Значит изучаемая конфигурация неустойчива и не
сохраняется во времени.
Отсюда еще не следует, что не существуют такие частные начальные условия,
и даже в бесчисленном множестве, будут оставаться сколь угодно малыми.
Рис. 12.
для которых перемещения Но существуют другие,
для которых нет возможного затухания, что мы и характеризуем, называя
конфигурацию неустойчивой.
Две параллельные цепочки. Предшествующее расположение вихрей не является
столь важным для приложений, как расположение в виде двух цепочек, как
оно встретилось в опытах Бенара позади движущихся нрепятствий. Рассмотрим
возможные расположения, не заботясь о выяснении их происхождения.
Ниже мы изучим два расположения, одно симметричное, другое -
асимметричное или альтернированное.
Вихри имеют одинаковую интенсивность но абсолютной величине но
противоположные знаки в двух цепочках. Расстояние между цепочками h, а
между соседними вихрями одной цепочки I. Ясно, что, беря за исходные
вихри в двух цепочках г0 и е'0 и полагая
g'0 = gQ-ih, в случае симметричного расположения (рис. 12\ I
-ih, в случае асимметричного (рис. 13),
можно написать комплексный потенциал I
2т
_ J_ ь ,im f ("-"о) [(^-^о)3-/a] l(z~eQy---4P]...l(e~z0)*-m /- ~ 9.v
\ (в - е'0) [(* - я'0)" - Щ... [(я - *'")> - кЧ2)
оо J ??1--
Ч
tv
ч
3
-"z0
Рис. 13.
После попарной группировки вихрей, как и в предшествующем при мере; имеем
еще:
z=^,g
(-i) \ (z-z o)a" L p И (*- *o)21
0 1 \ (* - *'o)a] ' (*-Л)а * ' '
\ I 1 L p J
и, следовательно, по классической формуле:
00
sin х = х JJ ( 1
ж9 \
J siny((r) - -o)
¦/ = -1 g----------------
2гп . тс
sniy-(г-г'0)
Скорость вихрей. Вычислим теперь скорости вихрей в каждой конфигурации.
Для этого достаточно воспользоваться формулой
п - tv ¦
:dl
dz
исключая предварительно в -~
¦- член, соответствующий рассматривае-
мому вихрю. Займемся, например, вихрем, помещенным в (гп). Имеем:
В силу симметрии естественно, что тот же результат будет найден для
любого вихря системы. Отсюда ясно, что конфигурации ив двух параллельных
цепочек являются перманентными конфигурациями, которые увлекаются в
направлении Ох с постоянной скоростью м0.
Устойчивость. Устойчивы ли эти конфигурации? Поставленная задача была
впервые решена Дамбой (Н, Lamb, Hydrodynamics, 5-е edition, p. 208).
Раньше ее рассматривали Карман и Рубах (Nachrichte der К. Gesellseh. der
Wissenschaften zu Gottingen, 1912; Physikalische Zeitschrift., 1912),
которые имели в виду упростить вопрос допущением, что все вихри в
совокупности перемещаются со скоростью и0 и не могут быть выведены из
строя кроме одного, который может покинуть свое относительное положение,
а также имели в виду отыскать условия, чтобы этот вихрь, предполагаемый
свободным, остался сколь угодно близким к своему начальному положению в
цепочке, в которой он принадлежит, если допустить его слегка смещенным.
Например, рассмотрим вихрь, помещенный в г0 и пусть §*0=?o+Gio есть малое
относительное смещение, испытанное его центром в момент t, где мы
отвлекаемся от общего перемещения и0. Согласно формуле (А), имеем для
скорости (и0, v0) вихря z0:
Непосредственно же имеем
? etg -f (и-*о) = ~j; 0+0(z-*0)"].
Следовательно:
^ (%-щ) = ~TctsT (е° ~ ^
т. е. для случая симметрии (г'0 = zQ - ih)
и для случая асимметрии I zQ' = з0 - ih
н0-Ч = 1ш{ JL [ctg -!(*-* 0)-ctg?(* - V)] -з5Г(Г=^}'
или, заменяя котангенс его известным разложением
ct,g-^ ___)
(см. I'ypca, Курс математического анализа, т. И):
ivn = lim
U у( \_____________________4________I______U
2 ги <*Л \ з - s0 - Ы с - з0 4~ Ш I
._ctgT(-V)
т. е.
и0 - w0 =
_L У /___]__J_____I___) _ jL ctK л (">: -o' >
2шД\г0-зк + J 2U g I
Заменяем ~0 через г0 2г0, находим для приращения "0 - щ{.
I я
<"0 ¦ ^0
л "
"'О
_Log, V--.-д--
2 гтс ^ "°^d "Г 2U I . я
1 sm- у (г0 - "о )
Мы имеем классическую формулу
следовательно,
<№0 . с1т\0 г Ы
It ~~ 1 W~ 2Р
у J_ да
2л Ж-Т'
t
sinayOn -*0')J
(ч1 + г>,1о)
Но для случая симметрии имеем:
- sinh2
п/г.
sii^yC-'o-^V)-- - j,
и в случае альтернированного расположения;
sin2 j(:0 - = cosh2 у,
В нервом случае имеем:
т. е.
откуда следует, что интегрирование вводит члены е гш1 и e~~'at и,
следовательно, 'вихрь неустойчив.
Во втором случае, наоборот, имеем систему того же вида, но
откуда следует, что вихрь будет вообще тоже неустойчив, но может
сделаться и устойчивым, если выбрать -у- так, что
