Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 23

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 66 >> Следующая

Неопределенный интеграл р (у) выводится из т (у) простым изменением знака
ж/ и так что получаем:
I Ih
Слагаемое - [(r)(Д)-р (- В)1 воспроизводит очевидно В2, т. е. -
А ТЕ 4
в пределе (так как изменение знака ж/ и ху не оказывает влияния на
значение 1>2). Что же касается остающегося слагаемого D3, которое назовем
В3, то оно запишется:
А_ /
1 (lh Л ,2 Vl Л + */ , Г/ h Л2 I
-йЦт)arctgi?-+v' 2 \Y-^ ) +
+ № + V)"]-(4 + K1')"ctg
Ig [(y + у^ + ^+О3
H "J- xi
+ ...
строка* заполненная точками, представляет члены, аналогичные ранее
написанным, но с измененными знаками и отброшенными штрихами. Совершенно
ясно, что это выражение Da стремится в нулю вместе 1
С ~В'
Сумма слагаемых, соответствующих вертикальным сторонам, равна
Ih
-, если отвлечься от тон части пути интеграции, которая лежит
А
между вихрями.
Остается та часть, которая происходит от интеграции, между -
А
Jl I <"-'
и -, элемента-я/) где zxzz{ стремится к 2те, для бес-
^ 2те
конечного В. В пределе имеем, очевидно:
- f Ыу = -
-Ih-
складывая, имеем окончательно:
т. ills Ih
Возвращаясь к формуле (7), видим, что нам остается вычислить то,
Ih х Не у что происходит от двух членов ------------" ¦,- --------------
-^-- после
1 2г х* -\- 2/2 ' 4тс ж2 -f if
интеграции вдоль сторон квадрата.
Первый из этих членов дает непосредственно выражение
+Д + д
Ih Г Г Rdy Г -Шу
2* I J Л(r) + г/2 J
№ + У2 J
Ih
2
Те части, которые соответствуют горизонтальным сторонам, взаимно
уничтожаются. Подобным же образом находим для второго рассматриваемого
члена:
+ д
1Ыг С Rdx Ihi
J
2тг J -f- x2 4
- R
Складывая все полученные результаты, имеем окончательпо:
лТ t
lim J [tp]J' (dy-\-idx) -.
O'
¦Ih.
(8)
Вычисление интеграла J хФ dz и его предела. Переходим теперь
С"
к рассмотрению последнего члена в правой части формулы (4). Так как
интеграция ведется по С', то мы применяем то же выражение (6)
1
для w, что и выше, и видим, что здесь члены порядка -дадут в пре-деле
выражения, обращающиеся в нуль, и мы сможем написать:
J =Iim Jw^dz - lim f
К
2 ггз
СО
2гг. g - з"
dz = lim L,
полагая
-/[
F2-
К2
iKV , iV
4 л2,г2
к у Jn
TZ^Z 3 i
CO CO
1 VI VT IJP
4тг2
- 0~3p).
dz.
В фигурирующих здесь суммах, вполне понятно, надо понимать суммирования,
произведенные вне (70, по двум вихревым цепочкам, беря попеременно вихрь
сверху и снизу.
В этом последнем интеграле, подинтегральная функция аналитическая в С',
за исключением 2 N точек sv zs... zN ... з{, z2'... zf и точки z - 0.
Вычеты будут равны:
для г = О,
iKV , К у 1"
для е - гп
2тга ^
iVJn КТ" I" Xv 1р
La. V
!тга
7t 27ta?M 2тга - Зр
Штрих указывает, что при суммировании значение р = п исключено. Сумма
этих вычетов Р будет, следовательно:
2N
iKV К yl iV^
F=^r+-№lii:+ - L1*
2^ _ 2N оо _ _
JLvia Lv
^ s. 2тга ^
2*2 Zi " 2тга ^ '
1 n 1 1 n 9
но мы имеем
2 N
2*.=°.
i
так как 1" принимает попеременно значения ±1; с другой стороны,
со 2N
Via -Via
As Ai s
X n x n
l l
стремится к нулю вместе с т. е. вместе с так что останется
в конечном итоге:
iKV 1 " . ?,/ К К
или, опуская члены, равные нулю:
ЛГ= о"^ j
1- г, iKV 1 1- V' /п\
hmP = --^1ш2 2 Т^Г' (9)
1 2М+1 *
или, наконец,
2N
AjlimJl.f J 1^Г)- (Ю)
1 ' 2М+1 " * '
2W+1
Выражение же
00
1 V
2(tm)' 2^1
представляет комплексную скорость в точке гп, происходящую от
совокупности вихрей, расположенных после обтекаемого тела позади квадрата
С'. Ута комплексная скорость совпадает, следовательно, с выражением (1),
вычисленным выше, если в этой последней заменить з через zn -j- (N1) I и,
значит, согласно (3), будем иметь равенство:
Г
2N + 1
, ( и. + л + (А'+i)t
I
*" + >. + (Л7 + 1 )1
)_Ч
гч
,-а + (А+1)Г
,-^ (^т ~t~ 1) i
i I ' V I
Но мы имеем здесь:
- I - nl, при In = I, для п нечетного
и
2п = - I - nl, при 1п = -7, для и четного. Таким образом, имеем отсюда:
/"(т+Л'
г fi iKV v 12
IITIJ / = -----------bill -"777
г
'($+") /,'(т + Л-1) Г' (_V - 1J
г("+и-.)
ЧЧ ("¦+>)'
Г'(Х) Г+А'~1)
Г(Ж) - + l)
/¦'"" 4-"+*)
+
г
г
Г (А- 1)
-ГЧ!)
Г(1)
Г' (Л') Г (Л')
+
741)
Г
или еще: lim F =
со iKV I" VI " Г' (") Г' [П "*~ ") Г' (-S)
тс 2TC2i i " Г(п) Г !* + 2К \ 1 1 г\ ;-т)
Наконец, ясно, что и что, следовательно,
lim J- - 2KV -j-
J = 2*'тс lim Р
Г'in) Г' (•+*) г-(-?)
Г(п) Г{ !*+") г(*-х)
(11)
Теперь важно подсчитать, имея в виду внести его в формулу (4) для
сопротивления, выражение
J (lim J) dt.
(12)
С этой целью Synge весьма изящным образом преобразует правую часть (11),
используя классическую теорию функции Г. Известно, что если С обладает
положительной вещественной частью, то (см. Уиттекер и Ватсон, Курс
современного анализа):
Г' (Г) Г / е~5 \
l-е-*)
(13)
При помощи этого результата можем уравнение (11) записать:
lim,/== - 2KV-
2iP
Ttl
и, следовательно, упрощая,
cosh
2Х?
')
limJ = - 2KV+--J (1 ( cosh 1)(й'
О
Заметим теперь, что в течение интервала времени (О, Т) из квадрата С0
выходят два вихря с интенсивностями -j-I и -I, так что в течение половины
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed