Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
скорость остается конечной на краях пластинки А и Л'.
ГЛАВА YIII
ВИХРИ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
В настоящей главе мы начнем изучение вихрей конечных размеров. Мы изучим
сперва, с целью выяснить их основные свойства, наиболее характерные
простые случаи: кругового цилиндрического вихря, затем вихря
эллиптического (тоже цилиндрического) Кирхгоффа и, наконец, сферического
вихря Хилла. В следующей главе мы займемся общей проблемой вихревого
кольца, прежде чем поставить совершенно общую задачу.
Трубки конечных размеров. Такие трубки образуются соединением бесконечно
тонких трубок. Центром тяжести называют точку, определенную равенствами:
(7 = а, Ь координаты элементарной трубки интенсивности /).
В силу уже известных нам свойств, этот центр тяжести неподвижен, если
жидкость покоится на бесконечности.
Однородная круговая цнлиндрнческая трубка в безграничной жидкости,
покоящейся на бесконечности. Пусть имеется круговая трубка радиуса В, где
С постоянна. Центр G неподвижен. Найдем распределение скоростей. В силу
симметрии скорость в Г нормальна к ГтР, является функцией одного г и не
зависит от времени. Теорема о циркуляции дает:
" Ф)
1 Внешняя точка относительно трубки: г > В,
а
г
2°. Внутренняя точка: j j 2Сс?а - 'lir.r'1
b
iv=;s.
Следовательно, диск S вращается с угловой скоростью Имеется совпадение
двух формул для г = Л.
Потенциал и функции тока. Известно, что
d'\ - udij - rd.r = - W dr, следовательно,
f - ;"*]g = 1 . "
¦снаружи,
Рис. 50.
и имеем:
- - в н у т р и.
Только снаружи существует потенциал
drf - udx -{- vdy = Wrdb,
a -j- "6 = - ir, R8 ]g (x -j- iy).
Вычисление давления. Движение, очевидно, перманентно. Рассмотрим внешнее
пространство относительно трубки, где ; = 0; тогда уравнения
дадут здесь
-у" = - ~ W2 -1- const,
т. е.
-Р. = -
1 гз т J_ _
где через ра обозначено значение р на больших расстояниях.
Внутри имеем г,~р О и С = н о с т о я и н о м у, и те же уравнения дают:
-L dp = - i d W* -f 2: {vdx - udy)
P 2
1
Pj_ _
P 2
Pi __ 1
1 _щ-fA=_IC2"-2 + ;2"'2-f K,
- - - -f к = 1- :v2-\4V -j- ^°-.
p 2 1 2 p
Постоянная определена из условия равенства давлений на обоих краях
границы.
В случае трубки конечного сечения, достаточно предположить, что на
бесконечности имеет место постоянное давление Ро > pWPj Для того чтобы р
было везде конечным и положительным.
Но предположим интенсивность трубки постоянной (/ = 2-к-Я2 - ¦= пост.) и
радиус И очень малым. Давление снаружи сделается
It
Р
8~2Г2
+
Р о
иидим тогда, что _р~* - со, когда приближаемся к бесконечно тонкой
трубке. Это позволяет думать, что такая бесконечно тонкая трубка
физически невозможна. В дальнейшем приде м к этому же результату для
вихревого кольца.
Эллиптический вихрь Кирхгоффа. Кирхгофф доказал в своих Le§ons de
Mecanique, что может существовать конфигурация, где вихри заполняют
пространство, имея постоянную интенсивность С внутри эллиптического
цилиндра, который вращается равномерно (с угловой ско-
ростью а>) вокруг своей оси, параллельной образующим и проходящей,
очевидно, через центры поперечных сечений. Относи-
тельное движение будет кроме того перманентным и не зависящим от
координаты г, параллельной образующим ци-
линдра.
Задача, очевидно, плоская, мы легко построим ее синтетическое решение
следующим образом.
В плоскости хОу (связанной с вращающимся цилиндром) возьмем эллиптические
координаты, определенные формулой:
или
х -{- гу = с cosh (; -|- irj)
х = с cosh \ cos tj, I у = с sinh \ sin tj, /
(1)
где 2с междуфокусное расстояние рассматриваемого эллипса.
Координатные кривые С = const, или т] = const, очевидно, софо-кусиые
эллипсы и гиперболы:
X1 , if1
¦¦ с-,
cosh2 5 ж2
C0S2Tj
sinh21
У2 sin2 tj
¦ - C".
(2)
Можно ограничиться условиями
О <?<-}- со, о < -Ц < 2г.
Пусть ф (л,], уи t) функция тока, отнесенная к неподвижным осям {xv г/j).
Будем иметь для абсолютной скорости:
Si
М1=9,Т' '''1==~ ^7*
и, обозначая через (и, е) проекции этой самой абсолютной скорости на Оху,
будем иметь:
д'Ь
= (3) после преобразования но формулам
жу = х cos Ы - у sin ml, ух = х sin даt -\- y cos u>/.
Переносная скорость, спроектированная на Оху, равна - <"у, ад?.
Следовательно, относительная скорость будет:
dii , ЭФ
-ж-""-
На стенке цилиндра $ (S = соответствующему ?0) эта относительная скорость
должна быть касательна к эллипсу, т. е. должна иметь на эллипсе:
или
ш
ф -ф- - г- = const. (4)
Постоянная относительно ж и у может зависеть от времени t.
Тогда надо определить ф либо вне S, либо внутри, согласно этому
условию, на границах, и в согласии с тем, что мы должны
иметь:
Дф = О снаружи) ^
Дф = - 2'i внутри j
там, где имеются вихри. Кроме того снаружи, циркуляция по контуру,
окружающему эллине, должна быть во всякий момент равна 2 (nab) С.
Наконец, не надо забывать, что скорости должны оставаться непрерывными
также, как и давление при переходе через границу S,
Пространство вне цилиндра. Рассмотрим сначала, что происходит снаружи.
