Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем обозначать во всем последующем через г расстояние между двумя
точками (а, Ь, с), (аV, с') первой области, через r; и гг расстояние
между двумя точками (жг_1; . ..), (•?',_ 1, -¦•) и (ж,, ...), (ж/, ...),
соответствующими первым в пространствах индексов I- 1 и I.
Положив это, рассмотрим потенциалы притяжения:
где плотности ?г_13 \ являются функциями, полученными из функции ?0
(конечной), при помощи формул преобразования, переводящих область У о в
две другие.
Мы допустим, что плотность 10 удовлетворяет неравенству {С0 |JV) и,
следовательно, согласно сделанным уже предположениям, ?г и удовлетворяют
аналогичным неравенствам. При этих условиях мы докажем,
1 (¦'ч- 1' Hi-1> гг-1
О)
т,
что потенциалы Ul_1 и UL удовлетворяют следующим неравенствам:
dU,
дх,
d2U, d*U,
i-i
\ дх*
дх2.
lUL
дх,
< АН,
-- i < АН,
d*U,
д*и,
г-i
дх,2
дх2,
V дх2
d*U2
i-i
дх2,
(2)
где А означает соответствующую постоянную, зависящую только от
рассматриваемых областей и, конечно, от функции с0. Ради краткости мы
будем обозначать условия (2) через (Н2\ Л9). Очевидна их аналогия с
условиями (С.21 АН), от которых они отличаются тем, что дифе-ренцирования
в левых частях касаются двух групп переменных (ж; _!> "/,_!, Д И (хр щ,
Zt) вместо одной.
Так как плотности S удовлетворяют условиям (6'01 Л7), то в силу теоремы
Корна для V, выполняются условия (С2 jР) и тоже для Ut_t. Следовательно,
можно получить желаемые неравенства (2) или (Н21 АН), и именно последнее
простой записью аналогичных неравенств, касающихся разностей:
5
д.г2
рил
д*? Л
дЩ_
дх2,
дЩ_
дх2.
и элементарной комбинацией этих неравенств, после замены двух
коофициентов правых частей наибольшим из них. Таким образом, можно более
прямым путем привести эту теорему к доказательству Корна, при помощи
изящного способа, принадлежащего Лихтенштейну.
Для этого мы рассмотрим непрерывную последовательность областей ,
определенных формулами:
хг - Xi-\JP о (xi ,,;г-1)>
(")
где параметр а меняется от О до
мы исходим от области
(7'г ! +^_i) Для а -0 и кончаем на области (7'г-'Г$г) для
а = Q
Мы назовем через \ значение с
определенное начиная с (или
^_i)j 110 предыдущим формулам, и мы рассмотрим потенциал
U
ял
d<
(4)
где смысл обозначений очевиден. Совершенно очевидно, что так как по (3)
(#(_, - 1) ...и (.<¦',- а) удовлетворяют неравенствам (6'i|LJu),
то мы будем иметь для (г-а) неравенства (С\ |220), записывая просто в
правых частях 220 вместо 20' И, очевидно, <Г/ будет являться функцией от
в аналитической и регулярной для О < s < О0. Имея ото в виду, рассмотрим,
например, производные:
dU,
дх
и введем аналогичное выражение
которое мы можем привести к интегралу по объеме 7'0, записав
То
;3атем будем иметь, и это, в общем, путь, которым мы шли при
доказательстве неравенства Корна:
а
Г 9 У.
U-U'-' = J ~dTd*' (Г,)
о
" = f
7-1 ¦ '
Ml, dU,. Г bV
ь k.Z-J ЧГЛ <*>
:3десь прибегнем к новому приему. Пусть Г0 окружность радиуса 20 с
центром в начале координат, в плоскости переменной е. По теореме
Коши, мы имеем в Г0 и a fortiori для
dU у Г dd
= J '(8 - е)2 U/-'
полагая 8 = 20ен, 0 < а < 2тс и определяя U. так же, как и ?7 [урав-нение
(4)J.B действительности, области 7'3-{-/S'., введенные таким образом,
вещественны лишь при а = О или тс, но мы будем всегда иметь неравенства
((7, | 20) для всех утих областей. Для всякой точки (я, 1>, с) в 7'0 и S0
и, следовательно, во всякой точке (х., уй, гй)
в Т. -j- S., U, будет обладать конечными частными производными пер-
диъ
вого порядка, .... В силу условий (С01 Лт), выполненных для "0 и
О
в силу теорем Корна, имеем одновременно для 17ъ неравенства (С11 с), т.
е. неравенства вида:
д г/.
иЛ<с>
дх.
Цд3.
дх. ) \ дх.
О / ¦
¦< с.
--С cc^i'
(7)
1 ' " ' 2
Факт, что 8 мнимое, не меняет существа рассуждения, приведшего к теореме
Корна.
Из (5) теперь следует:
( 977 \
| Vl - 77^ | < Q • (mod. maximum I.
Но из (6), принимая во внимание, что |775]<;с и что неравенства
1 2
О < s - 20 дают (о - г) , мы получаем:
J 2
mod. max •
Следовательно, получаем: 77, -
9 К 1 4 4с
<¦- с2тс20 -оТ= Q-
4с
(8)
Рассуждая с F и с уравнением (5') вместо 77 и (5), мы получим: dV. 1
Г <78
i./
(S - г)2
F,,
О)
и мы придем вместо (8) к неравенству:
диг
дх,
8U,
дх,
: a"q,
(10)
"г
где А" новая постоянная.
Чтобы получить то из неравенств (2), которое касается
92 77, d~U,
дх2
г-i
достаточно рассмотреть величину Wt
dV.
дх.
- (вторую производную
потенциала 77., с предосторожностью в применении для объема внутри)
для 8 = 90е^ и определить его предел, после чего рассуждение
заканчивается таким же образом, как и выше. Но теперь весьма легко
распространить классические свойства объемного потенциала без малейшего
изменения на потенциал (мнимый) /У и его производные.
Из существования формулы:
dV 1 Г db
V,
ds
- Г
2гл J
Го
следует аналогичная формула для
(8-
92К
dxjds
е)2
V и F5 могут быть заме-
нены Wt и Ws. Тогда вторые неравенства (7) и равенство, аналогичное (5),
