Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
помощью той же сферы 2 и положим кроме того:
v-fSS*,Z-+I If
(7)
где ?! есть значение I в точке Ж,.
Рассмотрим сперва второй интеграл V и в нем часть, соответствующую
области Т'. Очевидно, будем иметь:
Д,
I /Э2 и'\ /д*1Г'
I \ дх* д \ дх2 (
д2
дх2
///"'
Л)
dz'
i(i)
+
= Р, + Ра + Р8,
(8)
где через Pv Р2 и Р8 обозначены, последовательно, три члена в правой
части. Индексы 1 и 2 при знаках модуля указывают, что расстояния
отсчитываются от точки Мх или Mv
Итак в Рг г означает расстояние М^М', и условие (5) позволяет нам
утверждать, что
д2
1
г 1
и так как -- порядка и имеем даже
дх2
< -г, то напишем:
У
Р,<2Р
Первоначальная лемма позволяет преобразовать это неравенство:
2 В J J cos rn"da'
AC-
Но на 2d имеем d№ следовательно (cosгпс сохраняет постоян-
Jt
ный знак):
COS у пе
У2
do.
Интеграл этот представляет телесный угол, под которым видна сфера 2 из
точки Мг, он равен, следовательно 4it. Таким образом, окончательно:
1\ < ITJU^,
где Н1 означает постоянную; имеем также:
Z\<#2Bd12'
(надо только поменять роли двух точек Ж, и М2). Наконец, оценка члена Р3
не представляет н икаких трудностей, так как
15g -
и вторая производная, фигурирующая в нем, остается, как известно,
конечной
(она не будет иметь вид
Я/
д2 - г
дх2
dz',
но ее величина остается конечной; см. Appell, Mecanique, t. HI, p. 75).
Следовательно, Ps удовлетворит условию, аналогичному предыдущим, и мы
будем иметь:
At < HBdl2
(9)
Перейдем теперь к той части U', которая соответствует области Т". Можно
положить, как и при доказательстве теоремы I,
д2- ¦tJ-A-dz'
дх2
.(Ю)
обозначая опять через dS линейный элемент на Ж, Ж2. Переход ^ под
знаком интеграла здесь допустим, так как точка (х, у, г), расположенная
на находится вне объема Т". Мы сможем, следовательно, также
написать:
Ар аС
/я/-
дхЧБ
dz'dS
или, обозначая через и ра сстояние М\М и используя предположение (51:
[Iff/
Т"
и, следовательно, так как величина порядка - и и
меняется
от 0 до d,", то
м,
Д2 < (конечное число)-В | I I I I +
; (конечное число) -В / Г ГГ Г"4Ь:
м, ^
+A'tf/s
Но в силу леммы, мы имеем:
Т" S + E
2 ' Т0
и, например, так как на 2 г все время >-4р,
ff!!?L*'<hfJsF"' 8*
и также
cos г", , 8ж
* do' < --------------
а-а j
Г <*12
S
откуда легко получаем:
Г Г Г ^ (конечное число) • diax-1,
Т"
" л"/
i
/Я-
С (конечное число) • Д,Г
Внося в (11) и замечая, что интегрирование по 8 введет множитель 2<Zj2,
мы видим, что окончательно
Д2 < (конечная постоянная) (12)
Остается, наконец, рассмотреть количество
Г Г Г d'r
входящее первым слагаемым в U (формула 7); здесь мы имеем:
которое обращается в нуль как dl2 при М2, близком к Мл. Если,
следовательно, мы образуем отношение этого выражения к й12\ то это
отношение будет оставаться конечным и ограниченным на S, и,
следовательно, ясно, что мы сможем написать
Из формул (9), (12) и (14), касающихся Др Д2 и Д3 получаем, очевидно,
путем сложения теорему, которую должны доказать. Тогда можно сказать, что
U удовлетворяет условию (С2\Р) при соответствующем значении Р.
Следствие. Присоединяя к гипотезам теоремы II аналогичные гипотезы,
касающиеся первых производных ?, именно:
т. е., если функция Е удовлетворяет не только условиям (С01 В), но и
(С1\А), можно доказать в точности, как и выше, что потенциал U
удовлетворяет неравенствам, аналогичным (6), по касающимся на этот
д*иА _ (&UA
< (конечное число) • max |; | • dl2 .
и * &U,
Чтобы это доказать, выразим ¦ 2 ¦¦ через интеграл по
поверхности.
Непосредственно получаем:
2
, то, как видно,
Д3 < (конечное число) • max | ? [ • dl2.
(14)
раз третьих производных. V удовлетворяет тогда условиям, которые можно
обозначить (Сй | Р).
Неравенства Лихтенштейна. Теоремы Корна дают нам ценные неравенства,
касающиеся потенциалов, рассматриваемых, главным образом, как функции
точки, в которой вычисляются эти потенциалы. Как показал Лихтенштейн
(loc. cit.) другого рода неравенства будут играть существенную роль, а
именно те, где область интегрирования является переменной; в частности
представляет интерес характер зависимости потенциала от изменения области
интегрирования. Мы здесь получим результаты, которые будут нам полезны в
дальнейшем.
Рассмотрим, в качестве исходного пункта, область У'0, в которой
переменная точка обозначена через (а, Ь, с); пусть 80 поверхность,
ограничивающая эту область. Поставим в соответствие этой области две
другие Т1_1 и 7'г, отвечающие 7'0 однозначным образом и имеющие тот же
топологический характер и ограниченные поверхностями и Sr Пусть {xl v у1-
г, (хр уг, лг) точки функции а, Ъ, с, соответствующие точке (а,
Ь, с), принадлежащей У'0-{-$0.
Предположим, что разности xt - а, уг_± - Ь, et__t-с и также хг - а, У[ -
Ъ, г1 - с удовлетворяют условиям (С112) и что разности хг - х1_1, у, -
yt_v ~г - удовлетворяют условиям (С'"1 Q) при
2 -i- 20 постоянная X, входящая во все формулы, есть как и раныпе,
постоянный показатель, выбранный между 0 и 1.
