Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
Отношение двух векторов 8м, 8г, 8w и X, p., v, которые колинеарны* 1 dF
равно т. е. скорости распространения волны. Их направление
есть направление разрывности в рассматриваемой точке; оно называется
продольным или поперечным (трансверсальным), если оно нормально или
касательно к 8.
В случае жидкости вектор 8м, 8г>, 8м> может быть только касательным к
поверхности волны 8, которая, таким образом, будет поверхностью
скольжения.
В самом деле, рассмотрим маленький цилиндр, имеющий в основании элемент
do поверхности S и ограниченный поверхностью 8' (положение S в момент t,
-j- dt). Так как плотность жидкости постоянна, то жидкая масса,
содержащаяся в цилиндре, будет одна и та же в момент t и момент I -j- dt.
Предположим, что наш цилиндр находится в области 2; нусть F, скорость
жидкой частицы в области 1; F2 скорость в области 2\ отметим индексом п
нормальные составляющие. Вычислим изменение массы за время dt. Через
основание do на 8 вошла масса, равная р(Vlndt)do, так как основание do
находится в области 1; через верхнее основание вышла масса р Vindtdo, по
таким же соображениям. С другой стороны, в сечениях, параллельных do,
тангенциальные скорости противоположны; изменение массы, происходящее от
того, что вошло или вышло сбоку, ничтожно мало по сравнению с
нредшествующими величинами, если предположить
отношениедостаточно малым (ср. Hadamard, р. 112). Следовательно,
ао
окончательно должны иметь
F - V г 1" ' 2"!
что и доказывает предложение: разрыв скорости может коснуться только
тангенциальной составляющей.
Движение, когда скорости непрерывны. Скачок в ускорениях. Применим
прежние результаты, предполагая, что функция ф является
w-скоростью, спроектированной на ось Ох, или также v и tv, и что эти
скорости непрерывны, но их частные производные могут терпеть разрывы при
переходе через S. Выше доказанные формулы дадут нам здесь
вляет производную от и по t, если рассматривать а, Ъ, с как постоянные,
du
т. е., следить за движением молекулы по ее траектории; следовательно,
представляет ускорение, спроектированное на Ох, и предшествующие формулы
дают скачок ускорения. Предположим теперь, что поверхность разрыва S
постоянно состоит из одних и тех же жидких частиц; это именно то, что
происходило в случае, рассмотренном в начале настоящей главы, когда S
было поверхностью вихрей, отделяющей пространство, занятое вихрями. В
этом случае отображение ее S0, F (а,Ь,с, 0 = 0 будет независимо от t, по
самому определению, и мы будем иметь
--г = 0. Следовательно, в этом случае:
т. е. ускорения остаются непрерывными при переходе через S, если S жидкая
поверхность.
Непрерывность давления в жидкости при прохождении поверхности,
ограничивающей вихри. Теперь вообразим движение жидкости и запишем
уравнения движения в форме Эйлера, т. е.,
обозначая через Q потенциал ускорений.
Но мы уже внаем, что коль скоро скорости предположены непрерывными, то
ускорения остаются непрерывными и при переходе через поверхность разрыва
S, если последняя одновременно является жидкой поверхностью;
следовательно, ускорения непрерывны при переходе через поверхность S,
ограничивающую вихревую область. Потенциал Q определен в двух областях 1\
и '1\, внутренней и внешней к S- с точностью до постоянной, не зависящей
от х, у, z, и надо только распорядиться этой постоянной так, чтобы Q
имело одинаковые значения
. dv, X' dF . dv p.' dF * dw v' dF
dt h dt ' dt h dt ' dt h dt '
где X', p' и v' означает некоторый вектор, а , например, предста-
rtn.1 dp
dt р dx
или, вводя U-функцию внешних сил:
(1)
в одной точке S, рассматриваемой как принадлежащей 7, или Ге; тогда Q
получит одинаковые значения с одной и с другой стороны на всей
поверхности S.
Выбираем постоянную (могущую зависеть от (), входящую в Q для объема Те,
требуя, чтобы Q равнялось нулю на бесконечности; тогда имеем всюду
P=P*(t:) + P(.U- Q). (2)
Функция U непрерывна на S, так же как и Q, то же будем иметь и для р.
Давление остается, следовательно, непрерывным при переходе через
поверхность $, ограничивающую вихри.
Другая форма этой теоремы. Видя важность этого результата, покажем, как
можно связать его с классическими свойствами циркуляции. Без труда мы
увидим, что мы дадим лишь другую интерпретацию тем же условиям, которыми
мы уже пользовались.
Пусть АВ дуга какой-нибудь кривой, рассматриваемой в жидкости в момент t.
Пусть (", V, го) скорость в точке М этой дуги. Следуя за частицей в ее
движении, имеем, очевидно:
~(иЬх) - 8ж w8w, dt dt Рис. 55.
где 8ж, 8 у, Ьг означает элементарное перемещение на AM В н,
следовательно, согласно (1):
-rjr (ubx -j- vby -f- wbz) = 8(7 - - -\- ubu -J- vbv -\- tvtiw.
dt p
Следовательно, окончательно:
в в
J ubx-f vby-j- wbz = Г -^ + 1г(м2 + 4,а + м;а)]
А л
Возьмем за А и В две бесконечно близкие друг к другу точки, с одной и
другой стороны поверхности разрыва S. Скорости (", v, го) везде
в
непрерывны, интеграл J вдоль избранной кривой остается постоян-
