Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
где константа А=шй/к зависит только от решетки W, но не от выбора
образующих и, v этой решетки.
Разложение G(s, 1) вблизи s = l начинается с членов
AG (s,l) = ^ + 2у - log (Л2) - ^ log (АЛ) + ..., (16)
где у- постоянная Эйлера, а опущенные слагаемые обращаются в нуль в точке
s = 1. Это и есть предельная формула Кронекера.
Вблизи точки s = 0 имеем
G(s, 1) = - 1 -log (ДД) + .... (17)
Функциональное уравнение для G(s, 1) позволяет легко вывести любую из
этих формул из другой. Как часто случается
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 9 91
с рядами Дирихле арифметического типа, формула для 5 = 0 проще.
§ 9. Теперь мы рассмотрим поведение функций G(s, %) с I, в частности, в
точке 5 = 1. Вычисляя G(l,%) через известные функции, мы стоим перед
выбором одного из двух методов суммирования - по Эйзенштейну или по
Кронекеру. Мы покажем, что оба метода дают один и тот же результат. Когда
сам Кронекер занимался этим рядом (Werke, т. IV, стр. 347-351), он
пользовался (несомненно, не зная этого) важной идеей метода Эйзенштейна.
В обозначениях § 2 мы можем формально написать:
G(s, %) = И' F(^,y)~s%(m + W) =
М-" "V
= X' IU г* | ц+ 6vt г25 е (-6р0|х + 6a0v) = ^AV (s), (18)
М-, v V
где
Av(s) = \uГ25S0 (vt, 6Po, s) e(a0v) (19)
и функция S0, как всегда, определяется формулой (4) гл. VII, § 4. При
Re(5)> 1 все ряды здесь абсолютно сходятся. Положим 5 = 1. Из формулы (8)
гл. VII, § 4 следует, что
^o(l)=|j(Po-6Po + i) (0<бРо<1). (20)
Чтобы вычислить Лу(1) при v Ф 0, Кронекер исходит из тождества, по
существу совпадающего с тождеством (1) гл. II, § 2, которое было
отправным пунктом и для Эйзенштейна:
F(\i, v)"! = (\ш + vt))-1 (\ia + vt))-1 =
(21)
В действительности в этом месте (Werke, т. IV, стр. 350-351) Кронекер
работает с квадратичной формой F с положительно определенной вещественной
частью (ср. гл. VII, § 13). Этот случай, более общий, чем рассматриваемый
здесь, можно разобрать в точности тем же методом.
Предположим сначала, что 0<8Ро<1. Вычислим Лу(1) с помощью формулы (6)
гл. VII, § 4 и тождества (21). Получим
^v(l)=X /ЧМ-1 x(n" + vu) = л_1[/6у(т, go) - f6v(x, go)], (22)
92 Часть II. Кронекер
где ?0 определена, как в § 2, а функция fv определена для всех v ф 0
формулой
fv (*, So) = V
i еК>)
1
V z.
1 - е (vt) 1 - qv Следует заметить, что ряд (22) абсолютно сходится. По-
скольку е(?о) = 2о\ е(т) = q \ имеем
1-^'
Бесконечное произведение Xq(z), определенное в гл. IV, § 3, можно
записать в виде
+ оо
ХЛг) = - z-'l* П (1 - 4nz){ 1 - qn+xz~l).
п=0
При 1 > | z | > | q | получим
+ оо +оо
log(-z'kxq{z)) =- Z Z V_1(<7nvzv + qXn+x)vz_v) =
n=0 V = 1
= - Y! fv(t, s).
Все ряды здесь абсолютно сходятся. Если \z\ = I, z Ф 1, формула Абеля
суммирования по частям (см. гл. VII, § 4) показывает, что правая часть
продолжает сходиться в обычном смысле слова. Поэтому формула остается
верной по непрерывности. Заменим в ней q, z сначала на q, z0, а затем на
q,
>
Zq. Предполагая теперь, что 0 6|Зо <С 1, имеем 1 ^ \zo > \q\. Кроме того,
в прежних обозначениях, log \q = -2яш и log |z0| = - 2ябр0о). Объединяя
все полученные тождества, находим окончательно
21 х("0М-2 = A.(i) + 2^"v(i) =
V
= Tf(Po + i) - А~' log [*,(*>) (23)
Мы установили эту формулу при 0 ^ бРо С 1. Но левая часть ее не зависит
от выбора р0 при данном %. Что касается правой части, то, пользуясь
формулой (19) гл. IV, § 5, нетрудно установить, что она не меняется при
замене Ро на Ро + 1 и соответственно z0 на q6z0. Поэтому формула (23)
верна без ограничений, если только %ф I.
§ 10. Теперь рассмотрим суммирование по Кронекеру. В формуле (19) при v ф
0 заменим So(vr, бро, 5) его значением по формуле (32) гл. VII, § 12.
Соответствующий ряд
VIII. Двойной ряд Кронекера, § II 93
состоит из членов вида (37) (тот же параграф), содержащих функцию Kz с 2
= 5-72, и, если р0 - целое число (т. е. %(ti)= 1), из еще одного члена,
определяемого формулой (35) того же параграфа. Все члены, содержащие Kz,
образуют двойной ряд, сумму которого мы обозначим C(s). С другой стороны,
при %{и) = 1 соберем вместе все члены вида
(35). Их сумма имеет вид
B(s) = ?' | и Г5 е (ctov) r(s - 1) Г(s)-11 cov |1-2s =
V
= |"r2V^ r(s - -j) Г (s)_I (o1_2sSo(o, -00,5-1). (24)
При %(и)Ф 1 положим B(s) = 0.
Таким образом, при Re(s)> 1 имеем
Z'x(w)\w\~2s = Ms) + B(s) + C(s). (25)
Грубая оценка Kz, указанная в конце гл. VII, § 12, показывает, что
двойной ряд C(s) абсолютно сходится при всех 5 и представляет целую
функцию от 5. Формула (14) гл. VII, § 7 показывает, что функции Л0(5) и
B(s) мероморфны во всей 5-плоскости. Точнее говоря, функция A0(s) цела,
если только %(и) Ф 1; при %(и) = 1 она имеет единственный простой полюс в
точке s = У2 с вычетом \и\~1. Если %(и) = 1, функция B(s) имеет полюс с
вычетом- \ti\~1 в точке s = 72, а если к тому же а0 - целое число, т. е.
%(v)= 1, у нее имеется дополнительный полюс в точке s = 1 с вычетом Л-1.
При % = I мы снова получаем результат, доказанный в § 8. В остальных
