Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
мы поступили таким же образом с простым тэта-рядом). Получим
ва(*. *, XQ) = (At)-*-' @а(Л_2Г', Xq, х) %(-х) . (30)
Теперь разобьем интеграл (29) в сумму интегралов по 0 < <Zt^.Tn по t> Т.
Второй из них, который мы обозначим 1оо(Т, х, х0, a, s), абсолютно
сходится для всех s и определяет целую функцию от s. В первом интеграле
выразим @д через 0о, применим формулу (30) и, наконец, произведем замену
переменной t = А~2и~1. Получим
T(s) Ка(х, xq, s)=Ieo (Т, х, х0, a, s) +
+ Ла+1-2'700(Л-2Г-1, *о, x,a,a+l-s)%(-x)~
J'S . rpS - CL - 1
<31>
где e=l, если a = 0, x^W; 8 = 0 в противном случае; e' = 1, если a = 0,
x0 e W\ в' = 0 в противном случае.
В результате получится мероморфное аналитическое продолжение левой части
(29) на всю 5-плоскость. Полюсы могут лежать только в точках 5 = 0 (если
а = 0, х е W) и 5 = 1 (если а = 0, х0 е W). При а = 0, х е W вычет в
точке 5=0 равен -х(-х)> т- е- -1 ПРИ * = 0. Если а = 0, ^о = 0 (т. е. х =
1)> вычет в точке s = 1 равен Л-1.
Положив Т = Л-1 в формуле (31), получим функциональное уравнение
Г(5) Ка(х, х0у 5) =
= Ла+1"25Г(а+ 1 - s)Ka{Xo, х, а + 1 - s)%(-х). (32)
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 14 97
Заметим еще, что при Re(s)>y-|-1 функция Ка(х, 0, s)
четна или нечетна по х в зависимости от четности или нечетности а и
периодична по х с решеткой периодов W. Аналитическое продолжение
показывает, что это остается верным при всех s.
§ 14. Теперь мы в состоянии решить вопрос, рассмотрение которого было
отложено на будущее в конце гл. VI. Функции Еа, ь9 Е*а,ь были определены
формулой (8) гл. VI, § 4. Очевидно, для всех х ф W имеем
Еа, b ("Я) == Еа, Ъ (я) = Ка+b (х, О, Ь)9
если только ряд, определяющий Eatbj сходится абсолютно, т. е. + 3.
Покажем, что тождество
Еа. Ь (*) = Ка+b (х, О, Ь) (33)
остается справедливым и при Ъ - а = 1 или 2. Действительно, при Re(s)>y+1
имеем
дх Ка {Ху Xq9 S) = sKa+l (Xf Xq9 S 1). (34)
Аналогично, если а > О,
J=-Ka(x, х0, s)=(a - s) Ka-i(x, х0, s). (35)
Кроме того,
3>Ка(х, о, s) = - sKa+2(х, О, S + 1), (36)
где дифференциальный оператор Ф определен формулой (1) гл. VI, § 1.
Аналитическое продолжение показывает, что эти формулы справедливы для
всех s.
В частности, из формулы (35) видно, что /С"(аг, аг0, а) является
голоморфной функцией ог х при а > 0 и x^W. Исключением является случай,
когда Ка-\ (а:, лг0, s) имеет полюс в точке s = а. В § 13 мы убедились,
что это возможно лишь при а= 1 и х0 е W. Там же было показано, что вычет
Ко(х, 0, s) в точке s = 1 равен А~1. Поэтому
jjrKdx, о, 1) = -А~1.
После этих замечаний рассмотрим сначала функцию /С2(а:, 0, 2).
Установленные выше формулы показывают, что ее производные по х и х
совпадают с производными E0i2i т. е.
98 Часть II. Кронекер
Е2. Поэтому К2(х, 0, 2) может отличаться от Е2 только константой. Теперь
рассмотрим разность К\{х, О, 1)-Ех(х). Ее производные по х и х постоянны,
и она нечетна по х, следовательно, она является вещественно линейной
функцией от х. Поскольку Кг (х9 0, 1) периодична по х с решеткой периодов
W, это позволяет заключить, как в гл. VI, § 2, что эта функция совпадает
с Е\. Пользуясь теперь формулами (34),
(36) и (8) гл. VI, § 4, находим, что тождество (33) верно для всех b > а
^ 0.
§ 15. Из формулы (27) очевидно, сначала для Re(s)> >у + 1, а затем по
аналитическому продолжению для всех 5, что
Ка(0, *о, S) = [Ка (х, Х0, s) - Ха \х |-Й]*.0.
Сравнивая этот результат с определением е*а ъ в гл. VI, § 5 и пользуясь
выводами § 14, получаем
С = *"+"<М. Ь),
если только b > 0. Тем самым мы доказали все утверж-
дения, высказанные в конце гл. VI. В частности, полагая N = а+6, мы
установили, что числа
nN~btii-NKN(x, 0, Ь)
алгебраичны над Q, если Q W есть мнимое квадратичное поле &, х е k и Ъ N,
N < 26.
В заключение (не выходя за поставленные нами рамки) рассмотрим случай,
когда характер %, входящий в определение функции Ка(х, x0i s), имеет
конечный порядок. Для этого необходимо и достаточно, чтобы x0gQW, т. е.
чтобы ядро ограничения % на W было подрешеткой W' с= W. Обозначим через R
некоторую систему представителей факторгруппы
W/W' в W. Тогда при Re(s)>y + 1 и, в силу аналитического продолжения, при
всех s имеем
Ка(х, Хо, S-, W) = Z х(г) Ка(х + г, 0, s; W').
Вместе с доказанным выше результатом это позволяет заключить, что числа
nN~b8i-NKN(x, Хо, Ь)
алгебраичны над Q, если Wczk, x^.k, Xo^k, 0 < JV/2 < <b^N.
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 16 99
Наконец, в силу функционального уравнения (32), последнее утверждение
остается верным при 0 < Ъ ^ N. Мы оставляем читателю переформулировку
этого утверждения в терминах значений L-функций Гекке мнимых квадратичных
полей.
§ 16. В гл. VII, § 10 мы показали, как перевести некоторые из результатов
этой главы на язык теории распределений. Проделаем эту же работу с
двойным рядом Кронекера.
Обозначим через \dxdx\ нормированную меру Хаара на С. Пусть W - некоторая
решетка в С. Фактор по ней Т= CJW представляет собой комплексный тор.
Положив, как обычно, х = аи + fto, получаем \dxdx\ = 2пА da dp, где
