Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейль А. -> "Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру" -> 27

Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.

Вейль А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру — М.: Мир, 1978. — 112 c.
Скачать (прямая ссылка): ellipticheskiefunkciipoeynshteynu1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая

случаях это рассуждение показывает, что функция (25) цела по 5.
§ 11. При Re(s)> 1 левая часть (25) зависит только от решетки W и
характера но не от выбора образующих и, и решетки W. Следовательно, то же
верно относительно правой части при Re(5)> 1. Аналитическое продолжение
позволяет распространить это утверждение на все значения 5. Рассмотрим
теперь ряд 2]Av(5). Если %(и)Ф 1, он абсолютно сходится при всех 5, ибо
этим свойством обладает ряд С (5). При %(и) = 1 его значение в точке 5= 1
совпадает с правой частью (23). Иными словами, "суммирование по
Кронекеру" приводит к тому же значению G(sfx), что и "суммирование по
Эйзенштейну".
Это показывает заодно, что левая и правая части тождества (23) не зависят
от выбора образующих и, v решетки W, если только %(и)Ф1. По
непрерывности, то же верно при
94 Часть II. Кронекер
%(и) = 1, если х Ф 1- Для правой части это можно проверить и
непосредственно, пользуясь формулами (15), (17) и (25) гл. IV. Третье
доказательство, основанное на представлении функции Xq(z0) Xq(zo) двойным
тэта-рядом, который зависит только от квадратичной формы F, можно найти у
Кронекера (Werke, т. IV, стр. 354-355). Ср. также лекции Зигеля в Бомбее,
на которые мы ссылались в гл. VII, § 13, стр. 81.
§ 12. Известны два метода аналитического продолжения всех рядов типа (1),
оба восходящие к Кронекеру. Первым из них мы пользовались в применении к
ряду G(s, х). Достаточно будет описать его вкратце в общем случае.
В обозначениях § 2 и с константой Л, определенной формулой (15) § 9,
имеем
х (w) = ехр[Л-1 (x0w - xaw)\ (26)
Обозначим функцию, представленную рядом (1) при Re(s)>
символом
Ка(х, х0, s) = 'Z* % (w) (х + w)a\x + w\~2s. (27)
Сумма 5Г берется по всем w е W, кроме -х, если x^W. Результат зависит
только от х, х0, s и решетки W. При необходимости мы будем обозначать его
также Ka{x,x0,s\W). Как всегда, а - целое неотрицательное число.
В обозначениях гл. VII, § 7 и 11, имеем
Ка (X, х0, s) = Zua\u\~2sSa(t, + VT, Sfos) e (a0v). (28)
V
Положив, как выше, x = au-\- с вещественными a, p, получим ?=а + 6|3т.
Число ? + vt будет вещественным, если v=-бр. В случае когда р целое, мы
будем обозначать символом A (s) тот член правой части (28), который
отвечает v = - бр:
A (s) = Ua |u\~2sSa(а, бро, s) е (-бр"0) =
= 5"Iu\~2sSb[а, 6р0, s - е (-бра0),
где 6 = 0 или 1, 6 = amod2. Если число р не целое, положим A (s) = 0.
Ко всем остальным слагаемым в правой части формулы (28) применима формула
(39) гл. VII, § 12. С ее помощью каждое слагаемое представляется в виде
ряда, члены которого задаются формулой (41) того же параграфа, за
исключением, возможно, одного слагаемого, которое определяется
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 13 95
формулой (40) и присутствует в том и только том случае, когда ро - целое
число. В этом последнем случае соберем вместе все слагаемые вида (40) и
обозначим сумму этого ряда через B(s). Имеем
•a--a I ,i2s 2s-a-l г>/ \
I и \и\ (О B(s) =
a+2-2s r(2s - а - 1)
2K-I-Z - ZS
%
r(s)T(s
nsms-Jг(*-""о.• -
где b определено выше. Если же 60 не целое, положим B(s) = 0.
Сумму всех остальных членов, определяемых формулой (41) гл. VII, § 12,
обозначим через C(s). Функция C(s) определяется двойным рядом, все члены
которого содержат функцию Бесселя Kz- Наши прежние оценки показывают, что
этот ряд абсолютно сходится при всех s и является целой функцией от s.
Функции A(s) и B(s), когда они не обращаются в нуль, вычисляются с
помощью формулы (14) гл. VII, § 7. Они мероморфны во всей s-плоскости и
имеют не более чем
простые полюсы при b = 0 в точках s = а 1 и s =-| + 1.
Вычисление вычетов в этих полюсах с помощью формулы (14) гл. VII, § 7
показывает, что на самом деле только точка s = 1 может быть полюсом и
только в случае а = 0, X = 1-
§ 13. К тем же результатам можно прийти и, видимо, еще более естественно,
если воспользоваться другим методом аналитического продолжения простого
ряда Sa(x,y,s). Для вещественных значений х это метод гл. VII, § 7.
Применив преобразование Дирихле к формуле (27), получим
+ оо
r(s) ка(х, х0, s)= ij @*a(t, X, х0) is~l dt, (29)
о
где мы положили
0*0 (t, X, х0) = 2Г exp [- t \х + wI2] %(w) (х + т)а =
= 2*ехр[- t |х+ш|2 + Л-1 {x0w - xQwj] (х + w)a.
Суммирование 2* производится по всем точкам решетки w е W, кроме -х, как
и выше. Аналогичную сумму, распространенную на все точки решетки,
обозначим через (c)а.
96 Часть II. Кронекер
Таким образом, 0а = 0а - х(- х), если а = 0 и x^W; 0а = 0а в остальных
случаях.
Продолжим х До характера аддитивной группы С, положив для любого х е С
%(х) = ехр [Л_1(хэх - хйх)].
Функция @a(t,xfxо)х(^) периодична по х с решеткой периодов W. Представив
снова х в виде а и + получим, что она периодична по а, р с периодом
единица. Можно разложить эту функцию в ряд Фурье по а, р, вычислив его
коэффициенты по формулам Фурье. Это то же самое, что применять к 0а
формулу суммирования Пуассона. Еще удобнее преобразовать таким образом 0О
и затем вычислить 0а как а-крат-ную производную 0О по х (в гл. VII, § 7
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed