Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
Ф следующую функцию на R:
ф (х) = <р(хmod 1) е(- ху)
и положим А(ф) = й(й(Ф). Очевидно, А является распределением на Г. Для
любой непрерывной функции ср, носитель которой не содержит нуля, имеем 1
А(ф)= 5 Ф (х mod 1) е(-xy)Sa(x, у, a + \~z ) dx,
где подынтегральное выражение периодично по х с периодом единица. На
общепринятом языке это означает, что А совпадает с функцией
е(- xy)Sa(x, y,a + l~z) (26)
вне нуля. С другой стороны, коэффициенты Фурье распределения Д
определяются формулами
dy = А [е (- v*)] = [е {-х{у + v))].
76 Часть II. Кронекер
Нетрудно убедиться, что Do(l) = 0, так что dv = 0, если y-\-v = 0. В
противном случае
dv = Dw [е (-л:)] и (у + v)"\
так как D0 отвечает квазихарактеру со. Поэтому, положив AQ = DQ[e(-х)],
находим, что ряд Фурье для Д равен
-х, а~^ . Величину Апроще всего вычислить,
исходя из определения (25) и сдвинув контур интегрирования на мнимую ось
в х-плоскости. Детали мы оставляем в качестве упражнения читателю. В
результате находим:
= (2 п)~ж Г(2) [е (- 2/4) + (- 1)" е(2/4)].
Пользуясь хорошо известными тождествами для Г и полагая G(s) =
n_s/2r(s/2), мы можем переписать последнюю формулу в виде
А.= r(-i±i=i)-'=
= raG(a + z) G{a + 1 - z)~l.
Это наводит на мысль связать с квазихарактером со не распределения Dm A,
a G(a-\- z)~lD^ и G(a+^)_1A. Действительно, в более систематической
теории удобно поступить именно так. Учитывая (26), получаем, что только
что выведенное выражение для Л(r) формально равносильно тождеству (15) § 7,
но осмыслено иначе.
Определенное выше распределение Д для Re(^)< 0 и квазихарактера со, не
имеющего вида со(х) = х-п, мы будем теперь обозначать Дщ. Пользуясь
вычисленным выше рядом Фурье для До, нетрудно обнаружить, что если ф -
любая бесконечно дифференцируемая функция на Г,то С(а + е)~1Д(й(ф) как
функция от z аналитически продолжается на всю ^-плоскость. Этим можно
воспользоваться, чтобы определить G(a + ^)_1ACD как распределение для
всех квазихарактеров со. Ряд Фурье этого распределения равен
i~aG {а + 1 - z)~l Sa(y, - х, . (27)
К числу самых полезных свойств распределений на Т относится то
обстоятельство, что их ряды Фурье всегда можно дифференцировать почленно.
Здесь мы проиллюстрируем это на одном хорошо известном примере. Для со(х)
= х, у = 0 ряд (27) имеет вид
VII. Прелюдия к Кронекеру, § 11 77
Дифференцируя его, получаем ряд Фурье распределения 2jc(6o- 1), где б0 -
"распределение Дирака" (масса 1 в точке 0). Следовательно, (28)
представляет функцию с разрывом в нуле и постоянной производной -2я вне
нуля. Поскольку она нечетна по х, она должна совпадать с я(1- - 2{х)).
Этот результат следует сравнить с формулой (7) § 4.
§11. Рассмотрим теперь ряд (4) для комплексных значений х. Запишем его в
виде
Sa (?, У, s) = 2 (S + !*)*I ? + Iх I 25 е (- Н^/), (29)
м-
где а ^ 0 - целое число, ? = g + it), g, rj и у - вещественные числа и г\
=?0. Из-за последнего условия здесь нельзя ограничиться только случаями а
= 0, а = 1, как в § 7. С другой стороны, оно же избавляет нас от
необходимости рассматривать сумму ХГ- Предположим сначала, что Re(s)>
а~^1 . В этом случае ряд (29) абсолютно сходится и функция
Sa(?, У у s)*(-ly) периодична по g с периодом единица, так что ее можно
разложить в ряд Фурье. Поскольку функция (29) введена здесь лишь для
исследования двойного ряда Кронекера в гл. VIII, нас будет интересовать
только этот ряд Фурье. При более систематическом изложении следовало бы
рассмотреть также, например, связь между значениями Sa{Z>,y,s) при
комплексных ? и Sa {х, y,s) при вещественных х, т. е. поведение ^a(g, У у
5), когда г] стремится к нулю. Мы оставим эти вопросы в стороне; читатель
может обратиться к статьям Липшица (см. библиографию к этой главе).
Исключив случай, когда z лежит на отрицательной половине вещественной
оси, а t - комплексное число, мы будем всегда понимать под zf для
комплексных t величину etlos*, где в качестве logs: взято "главное
значение" (т. е. Im(logz) принадлежит интервалу ]-я, я[). В частности,
\z\2s = zszs. Как в гл. VI, дифференциальные операторы d/dz, д/дг обычным
образом действуют на вещественно аналитических (или вещественно
дифференцируемых) функциях от геС.
Пусть F - некоторая функция от ? = g + щ, определенная в полосе а<г\<Ь и
такая, что /7(g)e(-gу) периодична с периодом единица по g. Разложив
последнюю в ряд Фурье, получаем для F представление
1
т = Z fv ft) е [(у + V) I] = ? 5 F(x + "1) е[(0 + v)(g - *)] dx.
v VO
78 Часть II. Кронекер
Для краткости мы будем называть его "рядом Фурье" функции F. Обозначим
через Fv(?) его v-й член. Оператор F"-> Fv коммутирует со сдвигами ^-
плоскости, а значит, и с d/dg, д/дц (или, что то же самое, с д/д?, д/д?).
Он коммутирует также с оператором Fi->qpF, где qp - любая функция от г).
Поэтому если Z) - любой линейный дифференциальный оператор по ?,
коэффициенты которого зависят только от г), то из условия D(F) = 0
вытекает, что D (Fy) = 0 для всех v. Применив это соображение к функции F
