Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
узкой.
Верно, что его статья 1886 г. (Werke, т. IV, стр. 389- 470), где он
устанавливает свои знаменитые сравнения, была, видимо, подготовкой к
доказательству этой гипотезы. Сам он ее не доказал, но дал все
необходимые технические средства, оставив завершение этой работы своим
последователям.
Тем не менее сама гипотеза вполне могла быть лишь частью его юношеской
мечты, возможно самым ее началом. Кронекер хотел распространить на мнимые
квадратичные поля и их абелевы расширения всю совокупность результатов
Куммера о числах классов круговых полей и их р-адиче-ских свойствах.
Видимо, именно эту грандиозную программу Кронекер собирался выполнить в
своей серии работ, представленных Берлинской Академии. Излишне говорить,
что он ее не завершил.
Он успел с известной полнотой построить лишь аналитическую часть. Целое
созвездие позднейших авторов: Вебер, Фютер, Хассе, Гекке, Мейер, Зигель,
Рамачандра - занимались оставшимися вопросами, но, возможно, не исчерпали
даже чисто арифметических аспектов ситуации *). р-адические
1) Читатель сможет найти библиографию и полезные исторические сведения, а
также важнейшие, пожалуй, из современных результатов в работах: С. Meyer,
Berechnung der Klassenzahl ... (Ak. - Verlag, Berlin 1957); C. L. Siegel,
Lectures on advanced analytic number-theory (Tata Institute Fund. Res.,
Bombay 1961), ch. II; K. Ramachandra, Some applications of Kronecker's
limit-formulas, Ann. of Math, 80 (1964), 104-148.
106 Часть II. Кронекер
штудии вообще едва начались; замечательная работа Эйзенштейна 1850 г. о
лемнискате, в которой столь многие результаты Куммера о полях деления
круга были перенесены на этот случай, была почти забыта, а исследования
Гурвица и Герглотца оставались изолированными до самых последних дней.
Поскольку все это не относится к предмету нашей книги, мы лишь подчеркнем
важность этой темы для будущего.
§ 2. Оставшаяся часть книги посвящена двум примерам, почерпнутым из работ
Кронекера, которые показывают, какие приложения теории он имел в виду.
Первый из них воспроизводит содержание его работы 1863 г. об "уравнении
Пелля" (Werke, т. IV, стр. 221-225; ср. также Werke, т. IV, стр. 379-
389). Второй пример Кронекер разобрал не до конца (Werke, т. IV, стр.
376-379); недостававшее соображение добавил Лерх в 1894 г. (это наша
формула (23) гл. VII, §9). Обе темы вместе впервые объединили Чоула и
Сельберг в 1949 г. (Proc. Nat. Ac. USA, 35, 371-374; ср. также Crelles
J., 227 (1967), 86-110). В нашем изложении некоторые основные факты
теории полей классов будут считаться известными. Излишне говорить, что
Дирихле и Кронекер умели доказывать их непосредственно.
В 1841 г. Дирихле распространил на гауссово поле Q (i) значительную часть
своих результатов об L-рядах над Q и заметил, что эти ряды суммируются в
терминах лемнискати-ческих функций (Dirichlet, Werke, т. I, стр. 503-
618). Его теория квадратичных форм над Q (i), по существу, была теорией
квадратичных расширений поля Q(i), и он отметил ряд замечательных свойств
биквадратичных полей вида Q (/, л/7п)у их дзета-функций и L-функций
(ibid, стр. 508 и 612-618). Таково было положение дел перед работой
Кронекера 1863 г.
С современной точки зрения идея Кронекера выглядит довольно простой.
Пусть К-расширение поля Q с группой Галуа типа (2, 2). Тогда К имеет три
квадратичных подполя ко, к\, к2 и совпадает с композитом любых двух из
них. Предположим, что К не вещественно. Тогда ровно одно из полей ka,
скажем к2, вещественно. Обозначим через е > 1 фундаментальную единицу
поля к2.
Пусть ?, ?а, дзета-функции полей Q, kai К соответственно. Положим Ьа =
?а/?; это L-функция Дирихле над Q, отвечающая квадратичному полю ка.
Тогда Zk = t,L0LiL2. Положив s = l, получаем отсюда соотношение между
числами классов полей К, k0, ku к2. Это соотношение было одним из
основных результатов Дирихле, который ограничился случаем kQ = Q (i),
IX. Финал: Allegro con brio, § 3 107
Положим теперь Л = ?х/?о = L\L2. В этом тождестве, которое Дирихле тоже
рассматривал при k0 = Q (t), А является L-рядом над kQ, связанным с
квадратичным расширением К поля k0. Поэтому он представляется в виде
линейной комбинации двойных рядов того типа, которые были изучены в гл.
VIII нашей книги. Функции же L\, L2 являются аналогичными линейными
комбинациями простых рядов, рассмотренных в гл. VII. Поэтому соотношение
Л = L\L2 доставляет некоторое нелинейное тождество арифметического
происхождения между такими рядами. Положим в этом тождестве 5=1. Его
правая часть тогда выражается по формулам Дирихле через числа классов
полей k\, k2 и единицу г поля k2. С другой стороны, А(1) вычисляется
через эллиптические функции с помощью предельной формулы Кронекера. Эти
эллиптические функции допускают комплексное умножение на k0. Таким
образом, некоторая единица поля k2, т. е. решение "уравнения Пелля",
оказывается выраженной через эллиптические функции.
Это открытие Кронекер сделал в 1863 г. В то время оно было довольно
