Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейль А. -> "Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру" -> 32

Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.

Вейль А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру — М.: Мир, 1978. — 112 c.
Скачать (прямая ссылка): ellipticheskiefunkciipoeynshteynu1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 >> Следующая

сенсационным.
§ 3. Сам Кронекер считал поле ко фиксированным и рассматривал К как
простейший случай абелева расширения поля ко, абелева даже над Q. Чтобы
получить более простые формулы, он ограничился случаем, когда К над ко не
разветвлено. По тем же соображениям этим случаем ограничимся и мы !).
Для а = 0, 1,2 обозначим через Da дискриминант поля ka, через ha его
число классов и через wa число корней из единицы в ka. Поскольку поле k2
вещественно, w2 = 2. Положим ma = \Da\\ тогда D0 = - т0, Dx = - mu D2 =
m2. Характер Дирихле, отвечающий полю &а, совпадает с символом Лежандра
%а{а) = (DJn). Поэтому
+ оо та-1
La(s) = ? х" п- = т~* ? х" Я(^, s), (1)
п = \ п = 1
где функция Н (х, s) определена в гл. VII, § 9. Значение La в точке s = 1
можно вычислить либо с помощью результатов гл. VII, либо (что, по
существу, то же самое) с помощью классических формул Дирихле. Разумеется,
*) Кронекер отметил, что и без этого условия верны аналогичные
результаты: в этом смысл его слов "und selbst dann, wenn dieselben einen
gemeinsamen Factor haben", Werke, В. IV, S. 223.
108 Часть II. Кронекер
Кронекер пользовался формулами Дирихле, которые дают
Li (1) = --т=' L2(l) = -^loge. (2)
W[
) ' ^2\А/ )-----------------
д/ш2
С другой стороны, как хорошо известно, поле К не разветвлено над k0 тогда
и только тогда, когда DQ = D\D2 и Du D2 взаимно просты. В этом случае
характер % поля К над k0 является так называемым "характером рода", т. е.
характером второго порядка группы классов идеалов поля k0. Поэтому в ряде
A(s) = Ix(m)JV(mP (3)
все идеалы из одного класса имеют один и тот же коэффициент %(т).
Пусть й - любой дробный идеал поля kQ. Объединим в сумме (3) все идеалы,
эквивалентные а-1. Они имеют вид а а-1, где аеа, а Ф 0. Идеал а'а-1
совпадает с аа-1 тогда и только тогда, когда а'/а является корнем из
единицы. Таким образом, ряд (3) приводится к виду
о^'х^Г1 A(a)s 1"Г25> (4)
a s a
где Wo = 2, ибо иначе D0=-3 или -4 и D0 нельзя представить в виде DiD2 с
взаимно простыми Du D2.
Рассмотрим идеал а как решетку в С и применим к ней предельную формулу
Кронекера, т. е. формулу (16) гл. VIII, § 8. При W=a константа А в этой
формуле, которую следует вычислять с помощью формулы (15) того же
параграфа, равна
Имеем а = N (а) а-1. Положим Д = Д(а), где Д (W) определено в гл. IV, §
11. Так как эта функция однородна степени -12 по и, о, т. е. по W,
получаем
A = A{a) = N(a)-l2^a~l). Обозначим с учетом этого
F{a) = Д(а) Д(а-1) = V(a)121 Д(а)|2.
Очевидно, эта функция зависит лишь от класса идеала а. Применив теперь
формулу Кронекера к ряду (4), получим
Af (,)' ? |"г" = ^ (^ + Со - i log F (а) + ...), ,5)
где С0-сумма членов, зависящих только от &0, но не от а.
IX Финал: Allegro con brio, § 4 109
Выберем теперь систему представителей классов идеалов поля kQ. Поскольку
порядок х равен 2, имеем % = %~1. Так как этот характер не тривиален,
?%(а;) = 0. Объединяя формулы (4) и (5), получаем
л (1) = --?=¦ У х (a,) log F(at).
12 V т0 '
Учитывая, что Л = и пользуясь формулами (2), нахо-
дим окончательный результат Кронекера:
fci/feIoge = -(6)
Вместо того чтобы вычислять обе части тождества Л = = L\L2 в точке 5 = 1,
мы могли бы сделать то же для 5 = 0, Левая часть вычисляется по формуле
(17) гл. VIII, § 8, а правая - по формуле (21) гл. VII, § 9. Правая часть
(6) тогда записалась бы "в элементарном виде" через "круговую единицу" еЧ
Разумеется, оба варианта эквивалентны.
§ 4. Кронекер заметил, что в точности то же рассуждение можно применить к
тождеству g0 = Здесь
ь, м=? и (..г=ir, IN ("<>'
I а еа.
и предельная формула Кронекера дает первые два члена разложения g0 вблизи
5=1. Вычислять вблизи 5 = 0 еще легче, хотя результаты, по существу, те
же. Формула (17) гл. VIII, § 8 показывает прежде всего, что g0(0) =-
h0/w0. Разумеется, это находится в согласии с тем, что ?(0)= -7г и Lo(0)
= = 2h0/w0. Далее, имеем
Вместо этого тождества Кронекер получает равносильное ему для первых двух
членов разложения go в точке 5=1. Однако он ограничивается записью их
через известные величины и ряд
+ оо 11= 1
Чтобы получить полный результат, следует воспользоваться теоремой Лерха
(т. е. формулой (23) гл. VII, § 9) или же,
110 Часть II. Кронекер
как делают в цитированной работе Чоула и Сельберг, каким-нибудь
равносильным результатом, например рядом Кум-мера для log Г (5). Теорема
Лерха вместе с формулой (1) дает:
т0-1
^о(°) = = М°)1о8то+ ? Хо (") log Г(п/т0).
П= 1
Приравнивая производные ?0 и ?L0 в нуле, получаем формулу Чоула -
Сельберга. Мы будем писать k, т, h, w, % вместо ko, m0, h0, Wo, %o.
Переходя от логарифмов к самим числам, мы можем записать эту формулу в
виде
h т - 1

i=l п=1
Например, при h = 1 мы можем взять в качестве СЦ кольцо Q всех целых
чисел поля к. Тогда в обозначениях гл. V, § 8 левая часть формулы (7)
равна S24. Следовательно, константа S выражается через значения T(s) в
рациональных точках. В общем случае мы знаем (в силу определения Д в гл.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed