Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем развивать этот подход дальше и заключим изложение лишь одним
интересным примером. Рассмотрим распределение Д0 на Г, которое задается
рядом Фурье
/Со (0, Ху 1) = Y! М-2ехр[Л-1(аух - wx)\.
С точностью до замены х0 на х он совпадает с рядом G(l,%) § 9-10, для
которого мы доказали тождество Кронекера (23), § 9. Выведем теперь его
другим методом.
Обозначим через 3? "лапласиан", или "оператор Бельт-рами", д2/дхдх на Г.
Поскольку ряды Фурье распределений можно дифференцировать почленно, имеем
2'(А0) = А~2(1 - ? ехр \_A~\wx - дас)]'\. (41)
\ W€=W )
Ряд, являющийся формальной суммой всех характеров тора Т, представляет
"распределение Дирака" р,0, т. е. единичную массу в точке нуль. Поэтому
правая часть (41) равна Л-2(1 -ро) - Любые два решения уравнения (41)
отличаются на гармоническую функцию на Г, т. е. на константу.
Следовательно, уравнение (41) вместе с условием До(1) = 0 определяет Д0
однозначно. В частности, Д0 вещественно.
Положив, как выше (ср. гл. VI, § 2), р = р(х), где х = аи + ри, находим с
помощью простой выкладки
5ЧРМ2]=||"/яЛ|2.
С другой стороны, как хорошо известно,
3? [\og(xx)\dx dx|] =2зхЩ)
в смысле теории распределений: это почти непосредственно вытекает из
определений. Следовательно,
i?[log(xx) dadfi] = Л-V0.
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 18 103
Наконец, хорошо известно, что вещественнозначное распределение гармонично
тогда и только тогда, когда оно всюду локально представимо в виде
\og\f(x)\2, где f - голоморфная не обращающаяся в нуль функция.
Рассмотрим теперь функцию
F (х) = 2я21 и Г2 р (х)2 - A~l log |XJe(x/")]|2.
Как мы уже отмечали в § 9, она периодична по х с решеткой периодов W, так
что ее можно считать функцией на торе Т. Из сделанных выше замечаний
ясно, что распределение До - F(x) гармонично на Г и потому является
константой. Поскольку функция log \х\2 локально интегрируема вблизи нуля,
F интегрируема на торе. Учитывая, что Д0(1) = 0, находим
A0 = F - ^ F dadfi.
т
Вычисление интеграла здесь является стандартным упражнением. Оно
приводит, как и следовало ожидать, к формуле Кронекера
До = F "by я2| и | 2,
показывающей заодно, что Д0 "равно" интегрируемой функции на Т. Это
просто функция Грина на торе Т с римановой метрикой ds2 = \dx\2.
глава IX
Финал: Allegro con brio
(УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ И ФОРМУЛА ЧОУЛА - СЕЛЬБЕРГА)
§ 1. Заложив фундамент теории эллиптических функций, Эйзенштейн сумел
возвести по своему проекту значительную часть всего здания и оставить
указания, каким он хотел его видеть. Кронекер долго вынашивал гордый план
гораздо более грандиозного строения и уже к концу жизни начал закладывать
его основания, но сверх того успел немного. Бесполезно гадать о его
дальнейших замыслах; возможно, он и сам их не знал.
С другой стороны, теоретико-числовые мотивировки его последних
титанических усилий угадываются без труда и заслуживают краткого
отступления. Куммер, а затем Дирихле учили его и остались его друзьями на
всю жизнь. Арифметические работы Куммера концентрировались вокруг теории
круговых полей, их классов идеалов и чисел классов. Дирихле в другом
контексте первый обнаружил, что эти числа классов выражаются через
значения L-функций Дирихле в точке s = 1, т. е. в конечном счете через
значения простых рядов, изученных в гл. VII, при подходящих значениях их
аргументов. Передоказав эти результаты на языке своей теории идеалов,
Куммер перешел к исследованию р-адических свойств соответствующих
значений, начав с доказательства знаменитых сравнений для чисел Бернулли.
Эти его открытия относятся к самым глубоким; по важности они, возможно,
превосходят более эффектные приложения к проблеме Ферма и даже к законам
взаимности.
Сравнительно рано (в 1853 г.) Кронекер нашел инвариантное объяснение роли
излюбленных Куммером круговых полей: они не только являются абелевыми
расширениями поля
IX Финал: Allegro con brio, § 1 105
рациональных чисел (что открыл Гаусс), но их объединение исчерпывает все
абелевы расширения.
В той же статье (Werke, т. IV, стр. 10-11), где Кронекер сформулировал
это важнейшее открытие, он привел соответствующий результат для гауссова
поля Q(i) в терминах деления лемнискатических функций. Это породило идею,
что комплексное умножение должно играть ту же роль для соответствующего
мнимого квадратичного поля, что деление круга для Q и лемнискаты для Q
(i). Кронекер пишет об этом в письме к Дирихле в мае 1857 г. (Werke, т.
V, стр. 420; ср. также Werke, т. IV, стр. 179-183). Эта идея, как он
писал позже Дедекикду, была любимой мечтой его юности ("meiri liebster
Jugendtraum", Werke, т. V, стр. 455).
Впоследствии эти слова часто истолковывались просто как программа
распространения на мнимые квадратичные поля его теоремы 1853 г. о поле Q.
Иными словами, речь как будто шла о гипотезе, что деление эллиптических
функций с комплексным умножением порождает все абелевы расширения
соответствующего поля. Однако эта интерпретация представляется чересчур
