Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
da rfp - мера Хаара на Т, нормированная условием J da dp = 1.
т
Для любой интегрируемой функции / на Т отображение
Ф н-> А (ф) = ^ ф/ da rfp (37)
т
является распределением на 7, которое мы будем обозначать символом Д
=fdadfi или, для краткости, просто /. Мы будем говорить даже, что А
"есть" функция /.
Члены рядов Фурье на Т = С/W нумеруются характерами тора Г, или, что то
же самое, теми характерами С, которые тривиальны на W. Их можно записать
в виде
x=au + $v > %v(x) = e(6va-б|*Р) = ехр[Л_1(^х- wx)\ (38)
где, как обычно, w^W, w = \xu-\-vv. С любым распределением А на Т связан
ряд Фурье
Za(V)^v
Наоборот, любой формальный ряд Фурье на Г, коэффициенты которого растут
не быстрее 0((ц2 H-v2)^) для какого-нибудь N, отвечает некоторому
распределению.
Как в гл. VII, § 10, будем говорить, что распределение на комплексной
плоскости С отвечает квазихарактеру о мультипликативной группы Сх, если
оно умножается на со под действием этой группы.
Для каждого со существует единственное отвечающее ему распределение (с
точностью до постоянного множителя). Если со (х) = х~шх~п, где т, п -
целые неотрицательные числа, квазихарактеру со отвечает распределение
(dm+n/dxmdxn)x=q с носителем в нуле.
100 Часть И. Кронекер
Любой квазихарактер Сх либо имеет вид ХУ-^со(лг) = xa\x\2~2s,
где s е С, а^О-неотрицательное целое число, либо комплексно сопряжен к
такому квазихарактеру. За исключением случаев со (х) = х~тх~п с целыми т,
п ^ 0, распределение, отвечающее со, определяется формулой
Dq (Ф) = Pf ^ Ф(х) со(jc) | jc|-21dx dx|.
Правую часть следует понимать как предел выражения J
<${x)<i>(x)\x\~2\dxdx\-ea+1~sP(e)
хх ^ г
при е->0, где многочлен Р выбран так, чтобы этот предел существовал. Это
определение корректно, если (а) функция Ф всюду локально интегрируема;
(Ь) она m-кратно непрерывно дифференцируема в окрестности х = 0, где т >
>2Re(s)-а - 2; (с) она допускает при |*| -> оо оценку вида 0(|л;|*), где
A,<2Re(s) - а - 2.
Начиная с этого места, будем считать, что Re(s)>y+ 1.
В силу сказанного, значение Ow(Ф) определено, если в качестве Ф взять
любой характер аддитивной группы С. Обозначим через ф характер ф(*) = е
(* + *), через %-характер ФЛ*)=Ф(&*); в частности, ф0 = 1- Положим В(0 =
?)(й(ф) и f (b) = Dq (ф/;). Поскольку Dq принадлежит со, имеем f(by) = =
f(b)(r)(y)~l для всех b и всех уФ 0. Так как со Ф 1, отсюда следует, что f
(0) = 0, т. е. ДД1) = 0. Кроме того, f (Ь) = Вю • (a (by1 при ЬФ 0.
Константу BQ можно вычислить несколькими способами. Поскольку это
вычисление относится скорее к теории "распределения Тэйта" Да и его
преобразования Фурье, ограничимся результатом:
р .д/0 v2s-a-l г (а + 1 - s)
B^-i (271) ------------.
§ 17. В прежних обозначениях вернемся к решетке W и тору Т=С/\У. Выбрав
точку *0 е С, определим характер % группы С формулой
% (х) = exp [Д_1(х0х - х0х)].
Мы могли бы записать его также в виде где Ъ = (2ш'Л)-1 х0.
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 17 101
Пусть ф - некоторая ограниченная интегрируемая функция на торе Г,
бесконечно дифференцируемая вблизи нуля. Свяжем с ней функцию
Ф (х) = ф(х mod W) %{х)
на С и обозначим через А или А (со, х0) распределение на Г, для которого
А (ф) = (Ф). Оно определено корректно,
потому что мы предположили, что Re(s)>y + 1. В очевидных обозначениях его
можно представить в виде
Д(ф) = Pf ^ ф(х) Ка{х, х0, s) %{x)\dx dxI, т
где подынтегральное выражение, периодичное по х с решеткой периодов W,
следует рассматривать как функцию на Т.
Если носитель ф не содержит нуля, символ Pf можно опустить. Это означает,
что А вне нуля "есть" функция
2лАКа{х, х0, s) %{х). (39)
Теперь нетрудно написать ряд Фурье распределения А. Согласно нашим
определениям, коэффициент этого ряда при характере фцу, определенном
формулой (38), равен /^(Ф), где Ф имеет вид
Ф(х) = exp [Л_1(х0 -\-w)x - А~\хо + w) х].
Иными словами, Ф есть характер фь группы С с b -- (2зт/Л) (xq -|- w).
Поэтому соответствующий коэффициент равен нулю при 6 = 0 и f(b) =
50)*(о(6)-1 в остальных случаях. Таким образом, ряд Фурье распределения А
имеет вид
2"Ла+2-2*?*(*0 + *>)"]Хо + Ш|2("-"-!) X
X exp \_A~l{wx - wxj\ = 2nAa+2~2s - Ka(x0,x,a+l-s).
(40)
Последний множитель справа следует понимать формально, ибо
соответствующий ряд может расходиться.
"Приравнивая" это выражение и (39), мы приходим к тождеству, формально
совпадающему с функциональным уравнением (32), но, разумеется, имеющему
другой смысл.
102 Часть II. Кронекер
§ 18. Ряд Фурье (40) определяет некоторое распределение и при Re (sXy+ 1'
если только s не является полюсом
функции Г(а+1 - s), т. е. если со нельзя представить в виде х~тх~п с
целыми неотрицательными т, п. Это распределение в очевидном смысле слова
можно рассматривать как аналитическое продолжение Д(со, х0) на всю s-
плоскость. Вне нуля оно, по свойству аналитического продолжения, по-
прежнему "равно" функции (39). В действительности при Re(s)<<a/2 ряд (40)
абсолютно сходится, так что его сумма равна (39) в обычном смысле.
