Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
метод
и даже вариант "суммирования по Кронекеру", исходя из странного ряда хИ
(* + w)~l (Werke, т. V, стр. 104-127). В конце концов он счел
суммирование по Эйзенштейну самым подходящим. Этот метод мы и изложим
ниже.
§ 2. Как в главах III и IV, положим
Пусть, далее,
5С(") = е(-бр0), х(о) = е(бао), лг0 = а0и+р0я,
Со = xQ/u, z0 = e(C о).
В этих обозначениях сумму ряда (2) в надлежащей интерпретации Кронекер
записывает в виде Ser(x0, я, и, у). Будем считать, что х^\?; кроме того,
временно предположим, что %(и) Ф 1. Тогда можно выбрать р0 таким образом,
что 0 < бр0 < 1. Так как \zQ\ = \q |б|3°, имеем 1 > | "г01 > \ q |.
В силу формулы (6) гл. VII, § 4, получаем
Ряд слева сходится в обычном смысле слова. Поскольку 1 > I 201 > | <71,
сумма правых частей этого равенства по v абсолютно сходится. Таким
образом,
где функция F определяется при 1 > | w | > | q | рядом
В случае 1>|г|>|^| это равенство можно переписать в более симметричной
форме
Z = x/u, x = 6v/u, z = e{?), q = е (т).
Z
,6v
(3)
(4)
86 Часть II. Кронекер
§ 3. Теперь, довольно близко следуя Кронекеру (Werke, т. IV, стр. 309 -
318), мы покажем, что функцию F можно следующим образом выразить через
бесконечные произведения Xq(z)y P{q)y введенные в гл. IV, § 3:
X P(^Xq(zw)
F{q,z,w)- Xq{z)Xq{w) • (5)
Фиксировав <7, обозначим правую часть этой формулы через Ф(х, до).
Очевидно, что Ф (г, до) как функция от до мероморфна при хюф 0 и имеет
полюсы в нулях Хд, т. е. в точках w = qv. Следовательно, при 1 >|до|>|д|
ее можно разложить в ряд Лорана
Ф(х, до) = Z fv{z)wv.
Формула (19) гл. IV, § 5 показывает, что
ф(г, хю) = хюФ^г, хю) = хФ(х, qw). (6)
Согласно первому из этих равенств, получаем, что для всех v
fv (z) = f0 (qvz).
Второе равенство показывает, что при \ q\ >|до|> 1 имеем
Ф {z, w) = ? zfv (2) qv
ДО\
Пусть у, yf - окружности | до | = | q |,/з, | до | = | q |_,/2 в до-
плоскости, ориентированные против часовой стрелки. Интегралы от (2ти))-
1Ф(х, w)dw вдоль у и у' равны fQ(z) и 2/0(2) соответственно. По теореме
Коши разность этих двух интегралов равна вычету до_1Ф в точке до = 1.
Этот вычет равен единице, потому что P(q)2 совпадает с производной Xq(w)
в точке до = 1. Поэтому (х- 1 )f0(z) = 1, что завершает доказательство
тождества (5).
§ 4. Теперь мы определим функцию F(q, х, до) формулой (5) для всех
значений 2, до. Заменим х0 на х0 + до0, где до0^ W. Тогда z0 заменится на
qvx0, где v - некоторое целое число. Формула (6) показывает, что правая
часть (3) не изменится. В частности, формула (3) останется верной при
условии, что %(и) Ф 1.Если %ф 1, но %(и) = 1, то левая часть (3) не будет
сходиться даже по Эйзенштейну. Все же, если заменить суммирование
подходящим его вариантом, то формула (3), в которой F (q, х, до)
определяется по-прежнему посредством (5), останется верной. Это нетрудно
проделать, пользуясь результатами гл. И.
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 5 87
Учитывая формулу (15) гл. IV, § 3, мы можем переписать формулы (3) и
(5) в виде
ZX (W) _ / бро* Ч д>(х + х0) ( .
е x + w V и ) ф(*)ф(л;о) ' '
при условии, что 1. Из формулы (17) гл. IV, § 4 не-
посредственно видно, что правая часть не зависит от выбора образующих а,
v решетки W.
§ 5. Это последнее утверждение можно получить и другим способом. Положим
k(w, s) = %{w) (x-\-w)\x + w\~2s
и рассмотрим ряд s). При 5 = 1 он формально сов-
падает с рядом в левой части (7). Предположим, что х ф W и что %{и)Ф 1.
Пользуясь результатами гл. VII, §4 и §11, мы можем заключить, что
? Л(цы + VO, s) = % (vv) и | и r2sS! (С + 6VT, бРо, S). (8)
м,
Левая часть здесь сходится в обычном смысле при Re(s)> 72-это доказано в
гл. VII, § 4. Правая часть определяется с помощью формулы (29) гл. VII, §
11 при Re(s)> 1 и с помощью формул (39) и (41) гл. VII, § 12 для
произвольных 5. Формула (40) гл. VII, § 12 здесь не нужна, потому что x^W
и, следовательно, величина ? + 5vt не может лежать в Z. При Re(s)> 1
тождество (8) справедливо; поэтому оно остается верным при Re(s)> 1/2 в
силу принципа аналитического продолжения.
Просуммируем теперь тождество (8) по v. Подставив вместо Si справа
выражение этой функции в виде ряда (39) гл. VII, § 12, мы получим двойной
ряд, абсолютно сходящийся для всех s. (Для проверки этого хватает грубых
оценок функции Бесселя Кг и, следовательно, Фе, данных в конце гл. VII, §
12.) Отсюда находим
при условии, что х ф. W и %{и) ф 1. Предел справа берется по s>l, s -> 1.
Поскольку двойной ряд справа абсолютно сходится при s > 3/2 и потому его
сумма не зависит от выбора образующих и, v решетки W, то же верно при
аналитическом продолжении вдоль вещественной оси в s-плоскости. Значит, и
левая часть обладает этим свойством.
88 Часть II. Кронекер
§ 6. Перейдем теперь к ряду Кронекера
G(s, Х)= Z'xHlwr2s,
где 2У> как обычно, обозначает сумму по всем w е W, кроме нуля. Как
прежде, положим w = \ш + vv, \ w |2 =f (p., v), Х(ш) = х(р,т). Тогда
G(s,x)= 1Ух(9, v)F(p, v)~\ (9)
где F-положительно определенная квадратичная форма. Наоборот, любую такую
