Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
остается в полуплоскости Re(z)>0. Если бы Im(?) и Im(^) были одновременно
положительны, то аргументы чисел / + ?, ^ + при изменении t от -оо до -|-
оо убывали бы от я до 0, а аргумент A~lF(t, 1) убывал бы от 2я до 0
вопреки предположению *). По аналогичным причинам Im(?) и Im(^/) не могут
быть одновременно отрицательны.
Наоборот, если Im(?) и Im^') имеют разные знаки, то аргумент числа (t +
?') (t +1)~\ совпадающий с аргументом A~lF(t, 1), меняется от 0 до 0,
когда t меняется от -оо до + оо. Поскольку число (/ + ?лежит на некоторой
окружности в комплексной плоскости, она должна целиком лежать в некоторой
полуплоскости. Это означает, что А можно выбрать так, чтобы выполнялось
неравенство
Re[F(t, 1)]>0 для всех вещественных/. Положив Ч = тц (?-?0,
6 = sgnRe(T]), нетрудно убедиться, что для этого подходит число А =
1/бт]. Положим еще 1= */2 (?+?')• При данных ?, ц мнимые части ? и ?'
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда | Im (?) | < | Re (т)) |.
При данном т] допустимые значения ? заполняют полосу в комплексной ^-
плоскости. Будем писать т]/ = 6т], так что Re(r]')>0 и А=х\'~1,
В этих обозначениях мы покажем, как перенести результаты § 12 на ряды
вида
5: = тГs I (Ц ¦+ IT F У, I)-5 е(- м),
м*
*) Здесь и в оставшихся главах книги мы заимствуем ряд рассуждений из
лекций К. Зигеля: С. L. Siegel, Lectures on advanced analytic num-ber-
theory, Tata Institute of Fund. Research, Bombay, 1961.
82 Часть II. Кронекер
где г/- вещественное число. В случае ?' = ? этот ряд совпадает с (29).
При фиксированном г\ функция S'e(-ly) голоморфна по I и периодична с
периодом 1 в той полосе, которая была описана выше. В точности, как в §
11 -12, вычисление ряда Фурье этой функции сводится к суммированию S'a по
Пуассону. Кроме того, S'a можно выразить через S' с помощью формулы,
ничем не отличающейся от (31). Для S'Q формулы Фурье дают
5'='n/_s Z ф(п', y + v)e[("/ + v)|],
V
где функция ф определяется как интеграл
+°° _5 У)= S (Tl'+^) е ( ty) dt
- оо
вдоль вещественной Uоси. Применяя к нему преобразование Дирихле, получаем
при у Ф О
г (s) -ф (т]', у) = 2 VW[Яy\z Кг (2Y)
(z = s - у, У = п\у\ц'^,
а при у=О
r(s)ty(V, 0) = V1 *УлГг($ - y).
После этого те же выкладки, что и в § 12, приводят к тождеству (39);
нужно лишь заменить | rj | на ф и положить е = б sgn (y-\-v). Оценки,
обеспечивающие сходимость, остаются теми же ввиду очевидного неравенства
|^(2F)|<W)[2Re(F)].
ЛИТЕРАТУРА
1. Malmsten С. J., De integralibus quibusdam definitis,
seriebusque in-
finitis, Crelles 38 (1849), 1-39.
2. Lipschitz R., Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe,
Crelles 54 (1857), 313-328.
3. Hurwitz A., Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen
Funktionen
^ ^ =X/ ("л") ~n^' ^еГ (r)es^mmun? ^er Klassenzahlen binarer
quadratischer Formen auftreten, Zeitschr. fiir Math. Phys., 27 (1882),
86-101 (Math. Werke, Bd. I, 72-88).
VII. Прелюдия к Кронекеру 83
Е?>2 knix
, nn Acta (w + k)
0
Math., 11 (1887-88), 19-24.
5. Lipschitz R., Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von un-
endlichen Reihen, Crelles 105 (1889), 127-156.
6. Lerch М., Sur certains developpements en series trigonometriques, Ann.
Toulouse (I), 3 (1889), 1-11.
7. Lerch М., (a) Grundziige der Theorie der Malmstenschen Reichen,
Rozpravy ceske akad., I, № 27 (1892); (b) Studien auf dem Gebiete der
Malmsten'schen Reihen, ibid. II, № 4, 23 (1893); (c) Weitere Studien ...,
ibid. Ill, № 28 (1894) (эти статьи написаны по-чешски; см. также их
авторские рефераты в Jarhbuch iiber die Fortschr. d. Math., 1892, S. 446-
452; 1893-94, S. 790-793, 484-486).
8. Lerch М., Ober den Kronecker'schen Beweis der sogenannten Krone-
cker'schen Grenzformel, Arch. Math. Phys. (Ill), 6 (1904), 85-94.
глава VIII
Двойной ряд Кронекера
§ 1.Как в первой части, мы выберем некоторую решетку W в комплексной
плоскости и две ее образующие и, v. Таким образом, W состоит из точек
вида w = \iu-{-vv, где ц, v - целые числа. Символом % обозначим некоторый
характер аддитивной группы W. Иногда мы будем писать %(р, v) вместо v).
Все двойные ряды, которыми занимался Кронекер к концу жизни, имели вид
Он же ввел большую часть технических средств в теории таких рядов. Однако
в указанной общности эти ряды рассматривал лишь Лерх, находившийся под
влиянием работ Кронекера. Сам Кронекер до 1889 г. ограничивался
рассмотрением случая а = 0, х = 0 (т. е. ряда (1) гл. VII, § 1) и
интересовался главным образом значением в точке 5 = 1. В 1890 и 1891
годах (особенно в последний год, отчасти под влиянием переоткрытия работ
Эйзенштейна) он стал придавать особое значение случаю а = s = 1, т.е.
ряду
По-видимому, к этому времени Кронекер начал рассматривать ряд (1) как
ключ ко всей теории эллиптических функций (Werke, т. V, стр. 103-104).
Начнем с изложения его основных результатов о таких рядах.
Zx(te>)(* + a;)el* + w| 25.
(1)
(2)
w^W
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 2 85
Кронекер экспериментировал с разными методами сумми рования, включая
