Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейль А. -> "Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру" -> 25

Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.

Вейль А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру — М.: Мир, 1978. — 112 c.
Скачать (прямая ссылка): ellipticheskiefunkciipoeynshteynu1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 33 >> Следующая

форму можно представить в виде |p^ + w|2. Решетка W допускает комплексное
умножение (в смысле гл. V, § 6) тогда и только тогда, когда F можно
представить в виде F = cFu где F\- форма с целыми коэффициентами.
Ряды типа (9) с % = 1 и для формы F с целыми коэффициентами впервые
появились в работе Дирихле о числе классов бинарных квадратичных форм. Он
установил, что представленная этим рядом функция имеет в точке s = 1
простой полюс с вычетом 2nD~l/\ где -D - дискриминант формы F. Его
доказательство проходит и для форм с нецелыми коэффициентами.
Основные результаты Кронекера состоят в вычислении
(a) значений G(l,%) при % Ф 1; (Ь) постоянного члена в разложении G(s, 1)
вблизи 5 = 1. Последний результат известен как "предельная формула"
("Kroneckersche Grenzfor-meb). Иногда ее называют "первой предельной
формулой", а предыдущую - "второй". Сам Кронекер вывел результат
(b) из (а), сначала для форм с целыми коэффициентами (Werke, т. IV, стр.
376-379), а затем в общем случае (Wer-ke, т. IV, стр. 482-495) *).
Кронекер несколько раз отмечал, что его формулы можно обобщить также на
случай бинарной квадратичной формы с положительно определенной
вещественной частью (ср. выше, гл. VII, § 13). Это нетрудно сделать,
пользуясь результатами гл. VII, § 13, но мы не будем касаться этого
случая здесь.
§ 7. Позднейшие авторы (М. Лерх, X. Вебер и другие) обнаружили, что
работать непосредственно с G(s, 1) еще проще. Их доказательства мало
отличаются друг от друга. Здесь
9 Общее доказательство "первой предельной формулы" получил X. Вебер еще в
1881 г. под влиянием статьи Кронекера 1863 г.; см. Werke, т. IV, стр.
221-225, а также Dedekind, Werke, т. II, стр. 225. Доказательство Вебера
опубликовано в Math. Ann., 33 (1889), 392-395.
VIII. Двойной ряд Кронекера, § 8 89
мы следуем статье Чоула - Сельберга, Crelles /., 227 (1967), 86-110. В
обозначениях гл. VII, § 4 и § 11 имеем
G(s, 1) = | u\~2s ?'I И + vtr2s = I "Г2(r) X S0(vt, 0, s), (10)
Ц, V V
где ряд справа абсолютно сходится при Re(s)> 1.
Член S0(0,0, s) здесь совпадает с 2?(2s). Формула (15) гл. VII, § 7 дает
для него хорошо известное функциональное уравнение. Формула (14) того же
параграфа показывает, что у этой функции имеется единственный полюс в
точке s = 72 с вычетом единица. После этого из формулы (15) вытекает, что
2?(0) = -1, а из формулы (23) гл. VII, § 9 следует, что 2?'(0) =-
log(2:rt). Наконец, снова применяя формулу (15) и стандартные сведения о
Г (5), находим, что постоянный член в разложении ?(2s) вблизи s = l/2
совпадает с константой Эйлера у = -Г'(1).
Рассмотрим теперь члены ряда в правой части (10), отвечающие значениям v
Ф 0. Положим т = ? + /со. В силу определения т имеем со > 0. Для
вычисления S0 используем формулы (32), (35), (37) гл. VII, § 12. Получаем
S0(vt, 0,s) = V^r(s - 72)r(sr'|(ov|,_2s +
+ 2я*Г(s)-' X' I p/m f /Сг(2ясо I vp|) e(vp?), (11)
P
где z = s-V2. Подставляя это выражение в (10), находим |ир G(s, 1) =
2?(2s) + 2д/я r(s - у) - 1) +
+ 2д/я r(s)~l(n/<a)z Gi(z), (12)
где через G{(z) обозначен двойной ряд
Gi(z) = Х' X/\ Ф r/Cz(2jt(r)|vp|) e(vpi). (13)
V р
С помощью оценок для Kz, выведенных в конце гл. VII, § 12, нетрудно
проверить, что этот двойной ряд абсолютно сходится при любом z и
представляет целую функцию от z. Меняя местами v и р в формуле (13),
убеждаемся, что эта функция четная.
§ 8. Принимая во внимание функциональное уравнение для функции ? и
известные тождества для F(s), мы можем переписать формулу (12) в более
удобном виде:
|"pG(s, 1) = 2?(2s) + 2Г(1 - 5)Г(5)"1(я/(r))25-1 ?(2 - 2s) +
+ 2д/я Г(s)~l(n/ai)z Gi(z). (14)
90 Часть II. Кронекер
Умножив ее на F(s) (я/со)-*, получим четную функцию по г. Это и есть
"функциональное уравнение" для G(s, 1); в § 13 мы докажем более общий
результат. Из этой формулы видно также, что G(s, 1) не имеет в s-
плоскости полюсов вне точки s = 1, а ее вычет в этой точке равен
я/(согш), или, что то же самое, 2где -D - дискриминант квадратичной формы
v). Это установил Дирихле. Формула (14) показывает также, что G(0, 1)= -
1.
Для вычисления следующего члена в разложении G(s, 1) как в точке s = 0,
так и s = l, нам нужно определить значение Gj(72). Хорошо известно, что
Ky2(2Y) = у (я/К),/2 e~2Y. Это нетрудно проверить непосредственно, сделав
замену переменной -1~^2 = 0 в интеграле (36) гл. VII, § 12. Отсюда
следует, что
+ оо +оо
^Gi(t) =Z Zt(<7VP+^VP) = - log [Р (<7)^(4)].
V = 1 p = l
Мы положили здесь q = e (т), как обычно; q = e (- f) - комплексно
сопряженная величина; P(q) - бесконечное произведение, определенное
формулой (14) гл. IV, § 3.
Пользуясь доказанными выше свойствами ?(s) и известными свойствами F(s),
мы можем теперь вычислить первые два члена разложений G(s, 1) в точках s=
1 и s = 0. В формулах естественно появляется "дискриминант" k = k(W)9
определенный выражением (36) гл. IV, § И. Введем, как в гл. VI, § 2,
обозначения
uv - ш = - б ий{% - т) = - 2/6сошг = - 2т6А, (15)
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed