Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
периодом единица, они совпадают для нецелых значений х.
§ 9. Теперь мы перейдем к вычислению <5Si (л:, 0,s)/ds при 5 = 72.
Положим
оо
H(X,S)=I1 (x + n)-s (17)
/7 = 0
при х>0, Re(s)> 1. Имеем
Я(*+1, s) = H(x,s)-x-s, (18)
dHdxS) =sH(x,s+\). (19)
С другой стороны, при Re (5) > 1 и 0 < х ^ 1
Я(х,5)=|50(х, 0, J-) + 1s1(jc, 0, ^±1). (20)
Вместе с (18) и (14) этот результат показывает, что
H(x,s)
при всех х > 0 продолжается до мероморфной функции во
всей s-плоскости с единственным полюсом при s = 1 и вычетом единица.
Функцию H(x,s) иногда называют "функцией
VII. Прелюдия к Кронекеру, § 9 73
Гурвица". В традиционных обозначениях
т = Н( 1, s) = i/2So(o, 0, ±),
так что из (15) следует хорошо известное функциональное уравнение для
дзета-функции.
При 5 = 0 формула (14) дает Я(1, 0) = ?(0) = -72. При 5 = 0 и 0< х< 1
формула (20) в соединении с (14) и (16) показывает, что
Пользуясь формулой (18), которая верна для всех s по свойству
аналитического продолжения, получаем
Поскольку правая часть абсолютно сходится при Re (s) >-N, аналитическое
продолжение показывает, что тождество остается верным в этой
полуплоскости. Его можно рассматривать как формулу для аналитического
продолжения H(x,s), коль скоро аналитическое продолжение ?(s) уже
получено. Положим в этой формуле N= 1, затем почленно продифференцируем
ее один раз по 5 и дважды по х. Полагая F(x) = = (dH/ds)s=o, получим при
5=0
С другой стороны, продифференцируем (18) по 5 и положим s = 0. Это дает
Хорошо известно, что эти два свойства, вместе с положительностью d2F/dx2,
характеризуют функцию logT(x) с точностью до аддитивной константы1).
Поэтому F(x) = log СТ(х) для подходящей константы С.
4) См., например, Е. Artin, Einfuhrung in die Theorie der Gammafunk-tion,
Hamb. Math. Einzelschr., № 11, 1931.
H(x, 0) = 1/2 - (x).
H (x, 0) = 1/2 - x {x> 0).
Для всех 0, x > 0 и Re(s)> 1 имеем
(21)
d2F
dx2
? (x + n)~2 = H(x, 2) >0.
/7(x+ 1) - F{x) = log*.
74 Часть II. Кронекер
Заменим теперь в формуле (20) х на 1 -х при 0 < х < 1 и сложим результат
с (20). Поскольку функция S0 четна по х, Si нечетна и обе периодичны,
получаем
S0(x, 0,-%) = H(x,s) + H(l-x,s). (22)
Разумеется, эту формулу можно было бы проверить и непосредственно.
Дифференцируя ее по s и полагая 5 = 0, ввиду результатов § 8 получаем
log 12 sin nx\~l = log [С2Г(х) Г(1 -x)] (0 < x < 1).
Поэтому достаточно знать, что Г(72) = У^> чтобы заключить, что C2 =
1/2jc. Окончательно
(a^rS)),.o = Iog vS"' (23)
Эту формулу открыл Лерх в 1894 г. (см. [7с] в библиографии в конце этой
главы). Наконец, подобно тому как мы вывели формулу (22), можно
установить, что
5, (*, 0, ЦХ) = Н (х, s) - Я (1 - х, s),
и затем вычислить значение 5Si (х, 0, s)/ds при s = V2.
Формула (23) при х = 1 дает значение ?'(()). Более общо, с ее помощью
можно вычислить значения Ь'(0), где L(s) - любая функция Дирихле. Мы
воспользуемся этим в гл. IX. Функциональное уравнение (15) в сочетании с
упомянутой выше формулой для <3Si (х, 0, s)/ds в точке s = 1/2
непосредственно приводит к знаменитой формуле Куммера для
log Г(лг) в интервале 0 < х < 1, полученной им в 1847 г. На-
оборот, из этой формулы и результатов § 7 можно вывести тождество (23),
но это требует несколько большего труда.
§ 10. Теория распределений позволяет переосмыслить некоторые из
установленных результатов. Остановимся на этом вкратце.
Хорошо известно, что на R, на С и вообще на любом локальном поле
существует единственное (с точностью до постоянного множителя)
распределение, которое под действием мультипликативной группы поля
умножается на данный квазихарактер w этой группы. Это распределение,
подходящим образом нормированное, иногда называют "распределением Тэйта";
мы будем говорить, что оно отвечает 0.
Здесь мы будем заниматься полем R. Все квазихарактеры Rx имеют вид
х 0 (л;) = (sgn х)а \х\г,
VII. Прелюдия к Кронекеру, § 10 75
где а = 0 или 1 и ^еС, Пусть сначала со(х) =х~п) где /г^ 0 - целое число.
Тогда квазихарактеру со отвечает распределение (dn/dxn)x=Q с носителем в
точке х = 0. В остальных случаях значение распределения на функции Ф из
"пространства Шварца" определяется формулой
+ оо
Z)a(0)=Pf J 0(x)a(x)\xf1dx. (24)
Напомним, что Ф бесконечно дифференцируема и "быстро убывает". Символ Pf
("конечная часть") означает сам интеграл, если он абсолютно сходится, а в
общем случае предел выражения
(Т+Т)
х -оо 8 '
Ф (х) со (х) | х | ldx- еа+*Р(е2) (е > 0) (25)
при е~>0, где Р - многочлен, выбранный так, чтобы этот предел
существовал. Такой многочлен всегда существует, потому что Ф бесконечно
дифференцируема вблизи х = 0.
Правая часть (24) также определена, если (а) Ф всюду локально
интегрируема; (Ь) Ф m-кратно непрерывно дифференцируема вблизи х = 0, где
т > - Re (z); (с) при х -> ЧЬ оо справедлива оценка Ф = 0(|х|А'), где А<
-Re(z).
Предположим, что Re(z)<0, и выберем функцию <р на Т = R/Z, ограниченную,
интегрируемую и бесконечно дифференцируемую вблизи нуля. Обозначим через
